Простые числа на белой доске

[Ktina]

Для каждого целого неотрицательного $n$ проделаем следующие две операции:

1) На зелёную доску выпишем два числа: $4^n$ и $25^n$ одно за другим без пробелов.

2) На белую доску выпишем количество цифр в числе, получившемся на зелёной доске.

Доказать, что все простые числа будут выписаны на белой доске.

[lyuk]

Если произведение двух чисел равно $10^n$ и эти числа не являются степенями числа $10$, то сумма количеств цифр этих чисел равна $n+1$ .

[Day]

lyuk в сообщении #536186 писал(а):

то сумма цифр этих чисел равна $n+1$ .

Видимо, имелось в виду количество
И при n=0 это не проходит, но этот частный случай можно рассматривать отдельно

[lyuk]

Да, количество. Но при $n=0$ нечего проверять и утверждение тоже верно.

[Day]

lyuk в сообщении #536186 писал(а):

Если произведение двух чисел равно $10^n$ и эти числа не являются степенями числа $10$, то сумма количеств цифр этих чисел равна $n+1$ .

Очень красиво. У меня была мыслишка, что 25*4=100 не случайность. А как ваше утверждение доказать? Или тут не принято?

[lyuk]

Если $10^k<a<10^{k+1}$ и $10^m<b<10^{m+1}$, то сумма количеств цифр чисел $a$ и $b$ равна -- ?