Дифференциальная 1-форма и векторное поле

[scwec]

Пусть $\omega$ и $X$ - гладкие соответственно 1-форма и векторное поле на $\mathbb{R}^n$. Производная Ли $L_X{\omega}=0$ и $\omega(X)\ne{0}$. Докажите, что если $\omega$ - интегрируемая форма, то $\frac{1}{\omega(X)}$ - её интегрирующий множитель.

[Oleg Zubelevich]

затер

[Padawan]

А что такое интегрируемая 1-форма? Это форма, для которой условие $\omega=0$ равносильно $df=0$ для некоторой функции $f$?

[scwec]

Padavan, имеется в виду, что существует функция $\lambda$, такая что $d(\lambda{\omega})=0$.
Решение советую проводить не переходя к координатам. Это для Oleg Zubelevich. Только что увидел новый текст.
Опять пропал.

[Padawan]

scwec в сообщении #536117 писал(а):

Padavan, имеется в виду, что существует функция $\lambda$, такая что $d(\lambda{\omega})=0$.
Решение советую проводить не переходя к координатам. Это для Oleg Zubelevich. Только что увидел новый текст.
Опять пропал.

Это стандартное определение? По теореме Пуанкаре (о замкнутых формах) это вроде равносильно тому, что я написал. Не так ли?

[Oleg Zubelevich]

$\omega=\omega_idx^i$
Известно, что $\omega_i=\lambda\frac{\partial f}{\partial x^i}$. где $\lambda(x),f(x)$ -- функции. Выберем систему координат в которой $f(x)=x^1.$
Тогда $\omega=\lambda dx^1$. Вроде дальше можно не продолжать

[Padawan]

Если $\omega=gdf$, то надо тупо проверить, что $d\left(\frac{1}{\omega(X)}\omega\right)=d\left(\frac{1}{gX(f)} gdf\right)=0$. Там, наверное, множитель $L_X\omega$ должен выскочить

[scwec]

Область $\mathbb{R}^n$ в которой всё происходит не обязательно односвязна.

[Oleg Zubelevich]

если

scwec в сообщении #536117 писал(а):

имеется в виду, что существует функция $\lambda$, такая что $d(\lambda{\omega})=0$.

то утверждение локальное, и вот это

scwec в сообщении #536124 писал(а):

бласть $\mathbb{R}^n$ в которой всё происходит не обязательно односвязна.

не важно

[scwec]

Пусть про $\omega$ известно, что $\omega\wedge{d\omega}=0$ (взамен "локального" условия $d(\lambda{\omega})=0$).

[Padawan]

Padawan в сообщении #536120 писал(а):

Если $\omega=gdf$, то надо тупо проверить, что $d\left(\frac{1}{\omega(X)}\omega\right)=d\left(\frac{1}{gX(f)} gdf\right)=0$. Там, наверное, множитель $L_X\omega$ должен выскочить

А, ну да. По свойствам производной Ли (смотрю в Дубровин, Новиков, Фоменко)

$$0=L_X (\omega)=L_X(gdf)=L_X(g)df+gL_X(df)=X(g)df+gd(L_Xf)=X(g)df+gd(X(f))$$

, откуда $d(X(f))=-\frac{X(g)}{g}df$.
И

$$d\left(\frac{1}{\omega(X)}\omega\right)=d\left(\frac{1}{gX(f)} gdf\right)=-\frac{d(X(f))}{X(f)^2}\wedge df+\frac{X(g)}{g}d^2f=\frac{\frac{X(g)}{g}df}{X(f)^2}\wedge df=0$$

.

-- Вт фев 07, 2012 21:41:04 --

Какой смысл этот вопрос нелокально рассматривать?

-- Вт фев 07, 2012 22:01:20 --

Oleg Zubelevich
$\omega\wedge d\omega=0$ -- локальное, а cуществует $\lambda$, т.ч. $d(\lambda\omega)=0$ -- глобальное.
scwec
Интегрирующий множитель что такое? Вы его локально условием $d\left(\frac{1}{\omega (X)}\omega\right)=0$, или глобально условием $\frac{1}{\omega(X)}\omega=d\psi$ для некоторой функции $\psi$ определяете? В последнем случае, скорее всего утверждение будет неверно.

[scwec]

Конечно, это задача вычислительная. Однако мне хотелось повернуть решение на использование инвариантных формул. Только $\omega$ и $X$. И никаких дополнительных функций.
Появились дополнения у Padawan. Имеется в виду первое. Форма замкнутая, не обязательно точная.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #536137 писал(а):

Пусть про $\omega$ известно, что $\omega\wedge{d\omega}=0$ (взамен "локального" условия $d(\lambda{\omega})=0$).

Я просто не в курсе, это теорема такая есть, что одно эквивалентно другому? Тогда считайте, что мы ей воспользовались.

[svv]

Padawan писал(а):

cуществует $\lambda$, т.ч. $d(\lambda\omega)=0$ -- глобальное.

Мне кажется, и это условие локальное. Например, в $\mathbb{R}^2$ пусть $\omega=xdy-ydx$, тогда $\lambda=\frac 1{x^2+y^2}$ -- интегрирующий множитель, то есть $d(\lambda\omega)=0$, хотя глобально не существует такой $f$, что $\lambda\omega=df$.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #536146 писал(а):

Однако мне хотелось повернуть решение на использование инвариантных формул

мне кажется, это как раз ни к чему (начинаем обсуждать педагогику ) вот как в инвариантных терминах доказать, что если векторные поля коммутируют то и потоки тож?