$T_3$- пространство без изолированных точек.

[xmaister]

Пусть $(X,\tau )- $T_3$ пространство, не имеющее изолированных точек и семейство попарно не пересекающихся непустых открытых множеств- счетно. Подскажите, как доказать, что $X$ можно покрыть не более чем континуумом нигде не плотных множеств?

[alcoholist]

$T_3$ без $T_2$, да?

[xmaister]

Да, без $T_2$.

[xmaister]

(Оффтоп)

Задача взята отсюда. Решение к ней гугл не нашёл, а как подойти пока не ясно.

[lyuk]

С помощью трансфинитной индукции постройте семью $({\cal U}_{\alpha}:\alpha<\omega_1)$ семейств ${\cal U}_{\alpha}=\{U_i:i\in I_{\alpha}\}$ непересекающихся открытых множеств $U_i$, которое удовлетворяет условия:

1) $(\forall 0\leq\alpha<\beta<\omega_1)$ $(\forall i\in I_{\beta})$ $(\exists j\in I_{\alpha})$ $(\overline{U_i}\subset U_j);$

2) все множества $X\setminus G_{\alpha}$, где $G_{\alpha}$ -- обьединение семейства ${\cal U}_{\alpha}$, можна подать как обьединение континуума нигде не плотных множеств.

Теперь множество $X=X\setminus (\cap_{\alpha<\omega_1}G_{\alpha})$ подается в нужном виде

[xmaister]

lyuk, дело в том, что я не совсем понимаю, как правильно применить теорему об определнии по трансфинитной индукции. Т.е. берём счетное семейство $\mathcal{U}_0$ попарно не пересекающихся открытых множеств и множество $\mathcal{W}$ всех трансфинитных последовательностей, меньших $\omega_1$, т.е. множество всех отображений $f: \mathcal{U}_0\to W(\alpha),\alpha <\omega_1$, где $W(\alpha)$- множество всех ординалов, меньших $\alpha$. Пусть $h:\mathcal{W}\to\mathcal{U}_0$, тогда должна существовать в точности одна $f$ типа $\omega_1$, такая что $f(\xi)=h(f|W(\xi)),\xi <\omega_1$. Какую в данном случае $h$ брать? И как по $h$ определить эту единственную $f$ типа $\omega_1$?

[lyuk]

Трансфинитную индукцию используем аналогично, как метод математической индукции.

(i) Сначала постройте ${\cal U}_0$ так, чтобы оно удовлетворяло условие 1). (Тут множество $X\setminus G_0$ можна сделать нигде не плотным) -- это первый шаг.

(ii) Предположите, что семейства ${\cal U}_{\alpha}$ при $0\leq\alpha<\beta<\omega_1$ -- построены и постройте семейство ${\cal U}_{\beta}$ с соответствующими свойствами -- это второй шаг.

Если (i) и (ii) выполнены, то по теореме об трансфинитной индукции существует последовательность $({\cal U}_{\alpha}:0\leq\alpha<\omega_1)$, которая удовлетворяет 1) и 2).

[xmaister]

Т.е. изначально рассматриваем семейство всех подмножеств и ординал $\omega_1$. В качестве $h$ берём $h(\varnothing)=\mathcal{U}_0$. Определяем $\mathcal{U}_{\alpha +1}$, считатая, что $\mathcal{U}_{\alpha}$ не определено. Если $\alpha$- предельный, то берём объединение по всем меньшим чем $\alpha$. Тогда существует единственная трансфинитная последовательность $\mathcal{U}_0,\mathcal{U}_1,\ldots ,\mathcal{U}_\xi,\ldots$ типа $\omega _1$. Определив последовательность остаётся доказать, что $\bigcup\limits_{\xi <\omega_1}X\setminus G_\xi=X$. Так? И ещё не ясно, если $g_1$ и $g_2$- Две разлияне последовательности типа $\xi$, то $h(g_1)=h(g_2)$?

[lyuk]

Я не понял, при чем у Вас "семество всех подмножеств и ординал $\omega_1$".

Давайте так: постройте сначала последовательность $({\cal U}_n:0\leq n<\omega_0)$, которая удовлетворяет условия 1) и 2).

Примите во внимание: построить семейство ${\cal U}_0$ с условием $|{\cal U}_0|=\aleph_0$ -- это отдельная, не очень сложная, но задача.