Доказать ассоциативность для любого количества переменных

[SvetXD]

Если нам удалось доказать, что $(AB)C=A(BC)$, то как доказать, что в любом количесвте переменных мы можем безболезненно группировать скобки?
$ABCDEF...$

[PAV]

По индукции

[SvetXD]

те мы доказываем, что если оно выполняется для некоторого количества переменых, то оно выполняется и для количества переменных на единичку больше?

[PAV]

Да. Можете попробовать для четырех в качестве разминки. Или можете сразу для $n$.

Вообще доказывайте, что операции можно производить слева направо. Это будет проще всего.

[SvetXD]

а по индукции не получается, все таки в четырех множителях можно так расставить скобки, что к трем они не сводятся
можете показать хотя бы для четырех?-я потом обобщу

[PAV]

Напишите пример для четырех, который не можете разобрать

[SvetXD]

ну например $A(BCD)$

[ИСН]

теперь второй конец напишите. к чему свести-то надо?

[SvetXD]

к $(((AB)C)D)$

[ИСН]

так. я теперь понял, что этого мало. напишите первый конец полностью, со всеми скобками, а то непонятно, в каком порядке там перемножать B,C,D.

[Someone]

SvetXD в сообщении #535876 писал(а):

$A(BCD)$

А как тут скобка-то стоят? Укажите все скобки, иначе непонятно.

[bot]

PAV в сообщении #535839 писал(а):

Вообще доказывайте, что операции можно производить слева направо

Ещё лучше с двух сторон - как слева направо так и справа налево. При индуктивном переходе левое главное подслово записываем с левоправным расположеним скобок, а правое - с праволевым.

[PAV]

Пусть требуется разобрать $A((BC)D)$. Обозначаем $X=BC$, тогда имеем выражение $A(XD)$. По ассоциативности для трех сомножителей это то же самое что $(AX)D$. Затем рассматриваем произведение $AX$, для которого уже применимо предположение индукции.

Вообще оформить все это формально в общем виде - хорошее упражнение, оказывается, на строгие и аккуратные рассуждения.

[PAV]

Советую сначала еще раз попробовать сделать это самостоятельно, а если не получится - тогда вот более подробная подсказка для общего случая

(Подсказка)

Рассмотрите самое внешнее умножение $(\cdots)\times(\cdots)$. Вам нужно, чтобы вторая скобка содержала только один сомножитель $A_n$, тогда в чистом виде применяется индукция. Если же это не так, тогда нужно рассмотреть внешнее умножение во второй скобке, и таким же рассуждением, как в моем примере, для случая трех сомножителей, показать, что эти три умножения можно перегруппировать. Это уменьшит количество сомножителей во второй скобке. Продолжая эту операцию, придем к ситуации, когда он там только один, что и требуется.

[bot]

Я вот про что говорил (точкой выделяю последнее умножение):

$(x_1\ldots x_k)(x_{k+1}\ldots x_n)=(x_1\ldots x_k)(x_{k+1}\cdot x_{k+2}\ldots x_n)=(x_1\ldots x_kx_{k+1})(x_{k+2}\ldots x_n)=\ldots =x_1\ldots x_{n-1}\cdot x_n$

и аналогично (можно опустить в силу симметрии)

$(x_1\ldots x_k)(x_{k+1}\ldots x_n)=(x_1\ldots x_{k-1}\cdot x_k)(x_{k+1}\ldots x_n)=(x_1\ldots x_{k-1})(x_k\ldots x_n)=\ldots=x_1\cdot x_2\ldots x_n$