Решаема ли задача?

[Nikys]

Тревожу вас сегодня последний раз. Была дана задача про 8 марта.

Цитата:

На праздник 8 марта ребята решили сделать подарок девочкам. Готовя подарки, они разложили в каждый подарок по открытке и мягкой игрушке. А когда начали раскладывать мандарины, то возникло осложнение. Сначала они разложили мандарины по m штук в каждый пакет (в другие пакеты - яблоки), оказалось, что в одном из пакетов m-1 мандарин, когда положили по m-1 мандарин, осталось m-2, попробовали положить по m-2 мандарин, осталось m-3, и т.д. ... Когда попробовали положить по 2 мандарина, то остался 1 мандарин. Какое же количество мандарин купили ребята?

Задача процитирована дословно, разве что с переводом на русский. У меня же, в отличие от ребят, возникло осложнение с представлением условия. Лично у меня непонятки уже появились с фразы

Цитата:

по m штук в каждый пакет (в другие пакеты - яблоки)

Да и в продолжении:

Цитата:

оказалось, что в одном из пакетов m-1 мандарин

Быть может, я что-то неправильно понял, но задача представляется мне нерешаемой.
Помогите понять правильно условие, если оно написано верно, или скажите, где ошибка. Я не прошу решать её за меня.
Заранее спасибо.

-- 05.02.2012, 16:51 --

Насколько я понимаю, имеется в виду, что они раскладывали, к примеру, по 9 мандаринов в 9 пакетов при имеющихся 80 мандаринах, и в одном оказалось 8?

[arseniiv]

Да.

[Nikys]

[quote=arseniiv]Да.[/quote]
Это "да" про

Цитата:

Насколько я понимаю, имеется в виду, что они раскладывали, к примеру, по 9 мандаринов в 9 пакетов при имеющихся 80 мандаринах, и в одном оказалось 8?

?
Тогда получается, что если n - количество пакетов, k - количество мандаринов вообще, то
$mn - 1 = k$
$(m-1)n + m-2 = k$
$(m-2)n+ m-3 = k$
$...$
$2n + 1 = k$

То есть, это мое рассуждение неверно (а оно предполагало, что каждый следующий раз мандарин хватало, но оставались лишние, они все выкладывали и начинали снова). Предположение, что они докладывают каждый раз сбивает меня тем, как именно они докладывали и что вообще подразумевается под "осталось".

[arseniiv]

А ведь $n$ везде разные!

-- Пн фев 06, 2012 00:53:40 --

Но я не знаю, как это решается.

Хотя китайская теорема об остатках гарантирует единственность решения, тут более запущеный случай с не попарно взаимно простыми основаниями, так что решения, может быть, может и не быть.

Надеюсь, какой-нибудь числовой теоретик сюда заглянет.

[Nikys]

arseniiv
То есть, к примеру, положили по m мандаринок 1,2,3,4 и 5 пакеты, в 5-й пакет не хватило одной мандаринки. Потом положили в 4-й,5-й,6-й,7-й по m-1 мандаринок, и т.д., произвольно меняя пакеты?

[arseniiv]

Да нет, можно не менять пакеты. Просто вытащим по одной из тех, в которых $m$ и разложим в другие пустые. Кстати, вроде бы это может помочь в решении.

[Nikys]

А неплохой вариант...надо подумать.

[Nikys]

Мне кажется, в таком случае решения нет.
Пусть $m=2$. Тогда сначала в $n_1$ количество пакетов разложили по 2 мандарина, причем в последнем только 1 мандарин. Описываем это уравнением
$2n_1 - 1 = k$,
где k - все мандарины.
Чтобы компенсировать, достают $(n_1 - 1) = k_1$ мандаринов, которые будут участвовать в разложении их в $n_2$ пакетах. Но тут остаются лишняя мандарина. Уравнение
$n_2 + 1 = k_1 = n_1 - 1$
При этом $n=n_1+n_2$ - количество всех пакетов.
$n_2 = n_1 - 2 = \frac{k-3}{2}$
По-моему, тут без количества пакетов не обойтись...

-- 06.02.2012, 00:04 --

А когда надо будет при больших m искать, там принцип похожий ведь будет, только после второго раза вынимать будут $n_1+n_2-1$ мандарин, и рассчеты усложняются...быть может, рекурсию туда можно при правильном подходе запилить...

[Батороев]

Может быть, в условии задачи имеется в виду то, что ребята хотели в одни пакеты положить мандаринки, а остальные заполнить яблоками, но у них это никак не получалось. Т.е. количество пакетов, заполненных мандаринками, меньше числа девочек и постоянно возрастает.

[oveka]

А на каком языке оригинал?

[venco]

Nikys, вспомните Ходжу Насреддина и добавьте одну мандаринку...

[Nikys]

venco
Что именно? Какой-то из анекдотов про него? Можно ссылку, пожалуйста?
oveka, на украинском.
Батороев, да нет, заполняли же по m штук, и где-то ещё и не хватало...

[svv]

Ну, добавьте без Ходжи Насреддина одну мандаринку. Какими будут результаты раскладываний по пакетам?

-- Пт фев 10, 2012 00:54:01 --

Nikys писал(а):

Какой-то из анекдотов про него?

Отец оставил в наследство трем сыновьям 17 верблюдов, причем старшему завещал 1/2 наследства, среднему 1/3, а младшему 1/9. Братья чуть не перегрызли друг друга, так как 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. К счастью, мимо проезжал Насреддин на своем верблюде. Догадываетесь, как он разрешил ситуацию?

[Alexu007]

venco в сообщении #535804 писал(а):

Nikys, вспомните Ходжу Насреддина и добавьте одну мандаринку...

Да не добавлять надо, а скушать. Положить сколько получится поровну, лишние сожрать самим, вот и вся математика!

[Nikys]

svv
Alexu007
Просто тогда не понятен алгоритм. Если им не хватает в пакеты разложить по m-1 мандарин. Допустим, положили ещё один. Но ведь по алгоритму, потом ложат по m-2... *scratch*