Решить дифур

[Nxx]

Выразить $r(t)$ из уравнения:

$$ r'(t)=\frac{f^{\prime}(t)g^{\prime\prime}(t)-g^{\prime}(t)f^{\prime\prime}(t)}{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}-\frac{\sin r(t)}{a}\sqrt{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}$$

[alcoholist]

сначала скажите что такое $f$ и $g$, а потом приведите попытки решения)

[Nxx]

Любые функции. Пытался решить с помощью CAS, но она не берет.

[alcoholist]

и не возьмет... даже если $f'(t)=\sin t^2$, $g'(t)=\cos t^2$...

вот разложить в ряд по обратным степеням $a$ вероятно можно

[svv]

Ваше уравнение наверняка имеет геометрическую интерпретацию. Одно из слагаемых очень похоже на кривизну плоской кривой. Непонятно только, откуда могло получиться $\sin r(t)$. Можете объяснить?

Похоже, Вы рассматриваете кривую, заданную параметрически, $t$ -- параметр. Если перейти к натуральному параметру $s$, который связан с $t$ уравнением $\frac{ds(t)}{dt}=\sqrt{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}$ , уравнение упростится:

$$\frac{dr(s)}{ds}+\frac 1 a \sin r(s) = k(s)\;,$$

где кривизна $k(s)$ известна:

$$k(s)=\frac{df}{ds}\frac{d^2g}{ds^2}-\frac{dg}{ds}\frac{d^2f}{ds^2}=\pm\sqrt{\left(\frac {d^2f}{ds^2}\right)^2+\left(\frac {d^2g}{ds^2}\right)^2}$$

Но что такое $\sin r$ ? Разве такое бывает?

[Nxx]

Уравнение взято отсюда:

http://math.stackexchange.com/questions ... ike-curves

Изначальный источник:

http://www.mathcurve.com/courbes2d/trac ... oire.shtml

-- Пн фев 06, 2012 11:50:37 --

У меня получилось:

$r(t)=2 \arctan \left(\frac{\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2-a^{-2}} \tan \left(\frac{1}{2} \sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2-a^{-2}} \int \sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2} \, dt\right)+1/a}{\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2}}\right)$

[Nxx]

Черт, почему нельзя свои сообщения исправлять или удалять?

Вот так правильнее, конечно:


$r(t)=2 \arctan \left(\frac{\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2-a^{-2}} \tan \left(\frac{1}{2} \sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2-a^{-2}} \int \sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2} \, dt\right)+1/a}{\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2}}\right)$

[alcoholist]

это какое-то частное решение?

Где постоянная интегрирования?

-- Пн фев 06, 2012 12:04:19 --

рассмотрим предельный случай $a\to+\infty$

тогда Ваше решение превратится в $r(t)=\sqrt{f''^2+g''^2}\int\sqrt{f'^2+g'^2}dt...$

может быть, все-таки, там $r(t)=\sqrt{f'^2+g'^2}\int\sqrt{f''^2+g''^2}dt$?

[Nxx]

Короче, я взял уравнение

$$\frac{dr(s)}{ds}+\frac 1 a \sin r(s) = k(s)\;,$$

Получил такое решение:

$$r(s)=2 \arctan \left(\frac{\sqrt{k^2-a^{-2}} \tan \left(\frac{1}{2} \sqrt{k^2-a^{-2}} \left(C+s\right)\right)+1/a}{k}\right)$$

Дальше подставил

$$s(t)=\left.\int \sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2} \, dt$$

$$k(t)=\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2}$$

-- Пн фев 06, 2012 13:48:45 --

А, не, все неправильно. Не знаю, как решать.

[bot]

Первая дробь в правой части интегрируется легко, получается $\arctg\dfrac{g'(t)}{f'(t)}$
Возбудился было и начал сдвигать, но быстро разочаровался - фиг его знает, что с синусом делать.

[Алексей К.]

Я когда-то баловался с трактрисами, в т.ч. на форуме, и, кажется, всё про них изучил.
В частности, меня интересовала связь между натуральным уравнением кривой ($k(s)$, где $k$ --- кривизна, а $s$ --- длина дуги) и натуральным уравнением $q(l;N)$ трактрисы с поводком длины $N$, и я её получил. Первые шаги описаны здесь. Ещё не осознал, что Вас конкретно интересует...
Проверять абстрактные уравнения на соответствие задаче о трактрисе, признаться, немного лень

[Алексей К.]

Nxx в сообщении #535600 писал(а):

$$ r'(t)=\frac{f^{\prime}(t)g^{\prime\prime}(t)-g^{\prime}(t)f^{\prime\prime}(t)}{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}-\frac{\sin r(t)}{a}\sqrt{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}$$

svv в сообщении #535641 писал(а):

Но что такое $\sin r$ ? Разве такое бывает?

ТС ввёл крайне неудачное обозначение для угла, чем и вызвал недоумение svv. У меня оно было записано в виде

Алексей К. в сообщении #87731 писал(а):

Подстановка $\nu(s)=\theta(s)-\tau(s)$ приводит его к виду

$$ \nu^\prime_s=k(s)-\frac{\sin \nu(s)}{N},$$

где $k(s)=\theta^\prime_s$ --- известная кривизна тропы.

Суммы квадратов производных пропали, т.к. я работал с натуральной параметризацией. В той теме дело до конца не доведено: переход от натурального уравнения ведущей кривой (тропы) к н.у. самой трактрисы там не показан.

А уравнение превращается... превращается уравнение... в Риккати! Так что порешать его не надейтесь. В случае окружности вполне себе разрешается.

[Nxx]

bot в сообщении #535733 писал(а):

Возбудился было и начал сдвигать, но быстро разочаровался - фиг его знает, что с синусом делать.

Кстати, если вместо синуса поставить экспоненту, то кое-как решается. Но вот как зная решение с экспонентой найти решение с синусом - не знаю.

[Алексей К.]

bot в сообщении #535733 писал(а):

фиг его знает, что с синусом делать.

Я тогда тоже не знал, но посмотрел книжку при синусы --- там переходят к тангенсу половинного угла, и вообще вся это тригонометрия кагбэ на фиг пропадает. Клёвый финт, между прочим, я уж столько раз применял!

[bot]

В эту сторону я смотрел - если игнорировать первое слагаемое, то уравнение с разделяющимися переменными и для интегрирования тогда стандартная замена через половинный угол. Как теперь присобачить отброшенное первое слагаемое. Издалека не увидел, а поближе подойти лениво было - не показалось перспективным тем более, что уже взятый интеграл остаётся интегралом, то есть крючок такой неразогнутый остаётся.

-- Пн фев 06, 2012 20:29:54 --

А может быть и зря поближе не подошёл - там ведь слева при интегрировании что то вроде логарифма тангенса половины получится, так что $r$ выразится через арктангенс эспоненты неразогнутого интеграла, а интеграл от первого слагаемого тоже арктангенс ... Что-то в этом может быть и есть, но ... всё равно лениво.

(Оффтоп)

Настало время вечерних мультиков