Потому тяжёлый куль, что кончается на нуль

[Ktina]

Куль - мера массы, равная 9 пудам, что составляет примерно 144 кг, так что насчёт нуля я приврала.
А вот и сама задача:

а) Сколько существует натуральных $n\le 2012$ таких, что $1^n+2^n+\dots +24^n$ оканчивается на нуль в десятичной записи?

б) Обязательно ли ответ изменится, если 24 заменить меньшим натуральным числом?

[hippie]

а) 2012. (Достаточно проверить при $n=1;\ 2;\ 3;\ 4.$)

б) Обязательно.

Ответный вопрос:
Каким наименьшим числом нужно заменить 24, чтобы сумма всегда заканчивалась на два нуля?

[Ktina]

hippie в сообщении #535400 писал(а):

Ответный вопрос:
Каким наименьшим числом нужно заменить 24, чтобы сумма всегда заканчивалась на два нуля?

3000?

[Nikys]

Ktina в сообщении #535410 писал(а):

hippie в сообщении #535400 писал(а):

Ответный вопрос:
Каким наименьшим числом нужно заменить 24, чтобы сумма всегда заканчивалась на два нуля?

3000?

У меня программа показывает, что при 3000 - 2011 чисел.

[Ktina]

Nikys в сообщении #535435 писал(а):

У меня программа показывает, что при 3000 - 2011 чисел.

У Вас ошибка в программе, так как 2011 не делится на 503.
Вы без компа попробуйте, легче будет

[hippie]

Ktina в сообщении #535410 писал(а):

hippie в сообщении #535400 писал(а):

Ответный вопрос:
Каким наименьшим числом нужно заменить 24, чтобы сумма всегда заканчивалась на два нуля?

3000?

Есть очень простое соображение, которое показывает, что если подходит 3000, то подходит и 1000.
Разбейте числа от 1 до 3000 на группы по 100 (1–100; 101–200; и т.д.). Последние 2 цифры числа $k^n$ зависят только от двух последних цифр числа $k.$ Поэтому, для любой из указанных групп две последние цифры суммы $n-$ных степеней совпадают. Обозначим $x_n$ число, образованное последними двумя цифрами этой суммы. То, что 3000 подходит, означает, что $30x_n$ кратно 100 при всех целых $n\in[1;\ 2012].$ Но тогда и $10x_n$ кратно 100 при всех целых $n\in[1;\ 2012].$ А это значит, что 1000 тоже подходит.

PS А ещё подходит 999 .

PPS Но 999 тоже НЕ НАИМЕНЬШЕЕ число, удовлетворяющее условию!

[Ktina]

hippie в сообщении #535447 писал(а):

PPS Но 999 тоже НЕ НАИМЕНЬШЕЕ число, удовлетворяющее условию!

Ага, поняла, 375

[hippie]

Ktina в сообщении #535454 писал(а):

hippie в сообщении #535447 писал(а):

PPS Но 999 тоже НЕ НАИМЕНЬШЕЕ число, удовлетворяющее условию!

Ага, поняла, 375

Точно!!!