Поведение степенного ряда на границе круга сходимости.

[samson4747]

Вот нашёл пример $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(z-3i)^n}{5^nn^5}$ его радиус сходимости равен $5$ и исследуя его на окружности пишут что ряд сходится абсолютно так как $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left|\dfrac{(z-3i)^n}{5^nn^5}\right|=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^5}$, утверждая при этом что область сходимости $|z-3i|\leqslant5$, но у меня из головы не выходит теорема о наличии особой точки на границе круга сходимости степенного ряда для аналитической функции.

-- 04.02.2012, 18:57 --

Цитата:

Недодумка (или передумка) - должно было быть $z-3=\frac{1-2i}{5}$

Получим подставив эту точку сходящийся ряд: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$, а если продифференцировать его по $z$ то получим $0$ или я заблуждаюсь?

[Someone]

Вообще-то, надо сначала продифференцировать, а потом уже подставлять.

[samson4747]

Someone в сообщении #535114 писал(а):

Вообще-то, надо сначала продифференцировать, а потом уже подставлять.

Продифференцировал подставил $z_0$ получил: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(1+2i)^n(1-2i)^{n-1}}{n5^{n-1}}$(если не ошибаюсь ряд расходится)... к чему нужно прийти? я пока не понимаю, как находить эти точки особые...

[Someone]

Какое число? Продифференцируйте заданный Вам ряд по $z$, а после этого подставляйте, [url=http://dxdy.ru/post535082.html#p535082]что рекомендовал bot
[/url].

[samson4747]

Someone в сообщении #535121 писал(а):

Какое число? Продифференцируйте заданный Вам ряд по $z$, а после этого подставляйте, [url=http://dxdy.ru/post535082.html#p535082]что рекомендовал bot
[/url].

Исправил, пост выше.

[ewert]

samson4747 в сообщении #535122 писал(а):

Исправил, пост выше.

Неправильно исправили -- там явная путаница со степенями. Но дело не в этом.

Вы чего хотите-то: снять недоумение по поводу

samson4747 в сообщении #535085 писал(а):

но у меня из головы не выходит теорема о наличии особой точки на границе круга сходимости степенного ряда для аналитической функции.

-- или найти конкретные особые точки на границе?... Второй вопрос, вообще говоря, нетривиален (хотя в данном конкретном случае всё достаточно просто, т.к. ряд суммируется более-менее явно). Первая же празден, т.к. особость точки напрямую со сходимостью ряда никак не связана.

[samson4747]

ewert в сообщении #535138 писал(а):

samson4747 в сообщении #535122 писал(а):

Исправил, пост выше.

Неправильно исправили -- там явная путаница со степенями. Но дело не в этом.

Вы чего хотите-то: снять недоумение по поводу

samson4747 в сообщении #535085 писал(а):

но у меня из головы не выходит теорема о наличии особой точки на границе круга сходимости степенного ряда для аналитической функции.

-- или найти конкретные особые точки на границе?... Второй вопрос, вообще говоря, нетривиален (хотя в данном конкретном случае всё достаточно просто, т.к. ряд суммируется более-менее явно). Первая же празден, т.к. особость точки напрямую со сходимостью ряда никак не связана.

Мне нужно исследовать поведение степенного ряда на границе круга сходимости(буду благодарен если посоветуете где можно прочесть как находить конкретные особые точки), так как я исследовал, то есть получил мажорирующий сходящийся ряд, не совсем тогда состыкуется с теоремой о наличии особой точки на границе круга сходимости степенного ряда для аналитической функции.

Что касается дифференцируемости ряда то получаем вот так: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(1+2i)^nn(z-3)^{n-1}}{n^2}$ а потом подставил вместо $z-3\ \ \dfrac{1-2i}{5}$ получил: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(1+2i)^n(1-2i)^{n-1}}{n5^{n-1}}$.

[bot]

Один раз $1+2i$ за сумму выносите и ...

[samson4747]

bot в сообщении #535144 писал(а):

Один раз $1+2i$ за сумму выносите и ...

получится расходящийся ряд я об этом выше написал... если быть точне то что то вроде $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1+2i}{n}$

[bot]

Если быть точнее, то не что то вроде, а в точности. Ну, а чего хотели то?

[samson4747]

bot в сообщении #535155 писал(а):

Если быть точнее, то не что то вроде, а в точности. Ну, а чего хотели то?

Всё же не пойму почему мы взяли вместо $z-3$ $\dfrac{1-2i}{5}$ и как находить эти точки на круге сходимости осталось не ясным...




Единственное что я понял что мы взяли точку на окружности и получили расходящийся ряд показав при этом что на окружности ряд сходится не во всех точках.... Правильно? Остался вопрос Единственная ли эта точка? Буду благодарен если посоветуете где можно прочесть как находить конкретные особые точки...

[ewert]

samson4747 в сообщении #535142 писал(а):

Мне нужно исследовать поведение степенного ряда на границе круга сходимости(буду благодарен если посоветуете где можно прочесть как находить конкретные особые точки),

У Вас какая-то путаница. Исследовать поведение ряда на границе вполне можно (только обычно к перечисленным Вами приёмам приходится добавлять ещё что-нибудь, чаще всего -- признак Дирихле). В общем, этот вопрос достаточно обозрим. Обычно.

Только вот те точки, в которых ряд расходится -- вовсе не являются "особыми" в смысле той теоремы, которая всё нейдет у Вас из головы. Сумма ряда сама по себе в принципе имеет смысл только внутри круга сходимости; ну и, возможно, в некоторых точках границы (а возможно и нет). В теореме же речь идёт об особых точках аналитического продолжения суммы ряда за пределы круга. И эти точки, вообще говоря, никак не связаны с точками сходимости или расходимости ряда на границе.

[samson4747]

ewert в сообщении #535212 писал(а):

samson4747 в сообщении #535142 писал(а):

Мне нужно исследовать поведение степенного ряда на границе круга сходимости(буду благодарен если посоветуете где можно прочесть как находить конкретные особые точки),

У Вас какая-то путаница. Исследовать поведение ряда на границе вполне можно (только обычно к перечисленным Вами приёмам приходится добавлять ещё что-нибудь, чаще всего -- признак Дирихле). В общем, этот вопрос достаточно обозрим. Обычно.

Только вот те точки, в которых ряд расходится -- вовсе не являются "особыми" в смысле той теоремы, которая всё нейдет у Вас из головы. Сумма ряда сама по себе в принципе имеет смысл только внутри круга сходимости; ну и, возможно, в некоторых точках границы (а возможно и нет). В теореме же речь идёт об особых точках аналитического продолжения суммы ряда за пределы круга. И эти точки, вообще говоря, никак не связаны с точками сходимости или расходимости ряда на границе.

А как назвать тогда точку на окружности $\dfrac{1-2i}{5}$ в которой ряд расходится? Как установить тот момент единственна ли она на сей окружности или нет? Где можно подробно почитать о данном разделе, в Маркушевиче например буквально листик отведён этому вопросу?

[ewert]

samson4747 в сообщении #535225 писал(а):

А как назвать тогда точку на окружности $\dfrac{1-2i}{5}$ в которой ряд расходится?

А он в ней и не расходится. Вы же сами замечали, что он на всей окружности сходится.

Нет универсальных способов связать поведение ряда на границе с аналитичностью.

[Padawan]

samson4747
Посмотрите теорему Прингсхейма на стр. 326 первого тома Маркушевича. Особой точкой будет точка $(1+2i)(z-3)=1$, т.е. $z=3+\frac{1}{1+2i}$.