Максимальное и минимальное значения функции на интервале

[Sigurd]

Здравствуйте.

Задание звучит следующим образом: найдите наибольшее и наименьшее значение функции $g(x) = -x^2+6 \ln x+4$ на отрезке $[1;e]$.
Раз функция определена на закрытом интервале, то весьма вероятно, что график данной функции имеет точки с абсциссами, равными началу и концу указанного интервала. К тому же мы имеем дело с параболой, ветви которой направлены вниз. Следовательно где-то должен быть максимум функции.
Подставляем в функцию концы интервала:
$g(1) = -(1)^2 + 6 \ln 1 + 4 = -1+4=3$
$g(e) = -(e)^2 + 6 \ln e + 4 = -e^2 + 6\cdot1 + 4 = -e^2+10$
Первая производная функции: $g'(x) = -2x + \frac6x$
Находим локальный экстремум функции, решая уравнение $-2x + \frac6x = 0$, корнями которого будут $-\sqrt3$ и $\sqrt3$. Для нашей функции подходит только второй корень, т.к. областью определения этой функции являются все положительные числа.
Можно проверить "выпуклость" найденного экстремума с помощью второй производной: $g''(x) = (-2x + \frac6x)' = -2 - \frac6{x^2}$
$g''(\sqrt3) = -2 - \frac6{(\sqrt3)^2} = -2-2 = -4$
Результат - отрицательное число, поэтому это есть максимум.
Теперь найдём ординату полученного максимума:
$g(\sqrt3) = -(\sqrt3)^2 + 6 \ln \sqrt3 + 4 = -3 + 6 \ln \sqrt3 + 4 = 6 \ln \sqrt3 + 1$

Найденный максимум попадает в заданный интервал, следовательно наибольшим значением функции будет $6 \ln \sqrt3 + 1$
Наименьшим же значением будет похоже $-e^2+10$, т.к. судя по вычислениям, $g(e)$ будет меньше, чем $g(1)$
Верно ли решение?

[ewert]

Sigurd в сообщении #535000 писал(а):

Верно ли решение?

Верно, только много лишних слов. Проверять на выпуклость было совершенно ни к чему.