Интеграл методом Остроградского

[MayorBarbariska]

нужна помощь! решал интеграл $\int (x^7+2)/(x^2+x+1)$ dx Гауссом-Остроградским, дошел до $ x^4/4 + 2x^3/3 + x^2/2 + 2x-2\ln(x^2+x+1)+\int (x-2)/(x^2+x+1)^2$. дальше не берется.

[alcoholist]

MayorBarbariska в сообщении #534938 писал(а):

Гауссом-Остроградским

при чем тут Г-О?-)))

выделите полный квадрат в знаменателе

[MayorBarbariska]

Цитата:

при чем тут Г-О?-)))

задание взято из задачника Бермана, из раздела "Метод Остроградского". в любом случае до описанного мной момента решение верное (проверял по ответам).

[bot]

Г-О здесь точно не при чём. Делим с остатком и получаем стандартный интеграл типа

$\int\frac{(Ax+B)dx}{x^2+px+q}=\underbrace{\text{коэффициент}}\int\frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q}+\underbrace{\text{коэффициент}}\int\frac{dx}{x^2+px+q}$

Первый коэффициент берём так чтобы уравнять старшие ... , в общем короче берём просто $\dfrac{A}{2}$, а второй - по дополнению до равенства. С первым всё ясно, а во втором интеграле выделяем полный квадрат и получаем арктангенс.

[ewert]

MayorBarbariska в сообщении #534938 писал(а):

дальше не берется.

Ну до Остроградского Вы ещё не добрались. Теперь, раз уж по Остроградскому, то приравняйте последний интеграл к выражению $\dfrac{Ax+B}{x^2+x+1}+\int\dfrac{Cx+D}{x^2+x+1}\,dx$, формально продифференцируйте равенство, приведите правую часть к общему знаменателю и приравняйте друг другу полученные числители левой и правой части.

[bot]

У него ведь дробь неправильная, а после выделения целой части какой там Г-О - кратных корней в знаменателе нет.
А-а-а, а откуда у него квадрат в знаменателе взялся? По частям что ли разок взял? Или в исходном квадрат должен был быть?

[ewert]

bot в сообщении #535009 писал(а):

Или в исходном квадрат должен был быть?

Явно был потерян.

[bot]

Да, точно потерян - иначе начиналось бы не с $x^4$, а c $x^6.$