Сходится ли ряд?

[Ktina]

$0, (\frac{2}{4+\sin{2}})^2, (\frac{6}{9+\sin{3}})^3, \dots , (\frac{n^2-n}{n^2+\sin{n}})^n, \dots$

Только сегодня впервые в жизни научилась применять признак Коши, но именно он ответа как раз и не даёт, так как предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left({\frac{n^2-n}{n^2+\sin{n}}}\right)$ равен единичке.

Пожалуйста, помогите разобраться.

[Хорхе]

Тут никакие признаки не нужны. Общий член к чему стремится?

[Ktina]

Хорхе в сообщении #534887 писал(а):

Тут никакие признаки не нужны. Общий член к чему стремится?

К единичке, вроде.
Ага, поняла! Раз не нуль, значит расходится.
Спасибо!

Так, стоп-машина, а почему к единичке? Ведь $1^{\infty}$ не определено...
Если основание степени стремится к единичке слева, а показатель - к бесконечности, то вся степень может и к нулю стремиться...кажется...

-- 04.02.2012, 12:30 --

Комп так вообще перемкнуло

-- 04.02.2012, 12:41 --

ewert в сообщении #534899 писал(а):

Он ни к чему, конечно, не стремится. Но обратите внимание, что синусы бывают и отрицательными, и часто бывают, и тогда...

Но раз ни к чему не стремится, значит, не стремится и к нулю. Стало быть, согласно необходимому условию сходимости ряда, ряд расходится? Тогда при чём здесь отрицательные синусы?

[ewert]

Ktina в сообщении #534892 писал(а):

Так, стоп-машина, а почему к единичке?

Не к единичке, но всё-таки стремится. Представьте дробь как $\dfrac{n^2-n}{n^2+\sin n}=\dfrac{n^2-n}{n^2}\cdot\dfrac{n^2}{n^2+\sin n}$.

-- Сб фев 04, 2012 14:44:27 --

Ktina в сообщении #534892 писал(а):

Тогда при чём здесь отрицательные синусы?

Прошу прощения -- предыдущий вариант был несколько легкомыслен. Спровоцировано же это легкомыслие было тем, что вовсе нет необходимости находить именно предел членов ряда -- вполне достаточно оценки снизу по подпоследовательности. А отрицательные синусы очевидным образом её и дают.

[Ktina]

ewert в сообщении #534903 писал(а):

Прошу прощения -- предыдущий вариант был несколько легкомыслен.

(Оффтоп)

Легкомысленен...

...Хотя...в разных словарях по-разному написано. Возможно, допускаются обе формы. Моя личная логика говорит мне о законе сохранения - врорая "н" не может бесследно пропасть. Ведь говорят же "беременен", а не "беремен", "косвенен", а не "косвен"...

[Andrew Gubarev]

Ktina в сообщении #534892 писал(а):

Хорхе в сообщении #534887 писал(а):

Тут никакие признаки не нужны. Общий член к чему стремится?

К единичке, вроде. Ага, поняла! Раз не нуль, значит расходится. Спасибо!
Так, стоп-машина, а почему к единичке? Ведь $1^{\infty}$ не определено...

$\lim\limits_{n\to\infty}\left({\frac{n^2-n}{n^2+\sin{n}}}\right)^n = e^{-1}$

[Shadow]

$\lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{n^2+a}{n^2-n}\right)^n$ Можете найти?

[kw_artem]

Ряд сходится, по крайней мере по признаку Раабе предел больше 2-ух вышел -- сходимость.
Andrew Gubarev,если бы действительно
$\lim\limits_{n\to\infty}({\frac{n^2-n}{n^2+\sin n}})^n=e^{-1}$
ряд расходился бы.

[ewert]

kw_artem в сообщении #534925 писал(а):

Andrew Gubarev,если бы действительно
$\lim\limits_{n\to\infty}({\frac{n^2-n}{n^2+\sin n}})^n=e^{-1}$
ряд расходился бы.

Увы, но предел действительно именно таков.

[kw_artem]

Да!? значит я намудрил чего-то

-- 04.02.2012, 15:56 --

для интереса взял и построил график функции общего члена. и на удивление его асимптотой на +бесконечности оказалась y=0.

[Sonic86]

В общем случае вполне эффективно преобразование:
$\lim\limits_{x \to a}f(x)^{g(x)}=\exp (\lim\limits_{x \to a}g(x) \ln f(x))$.