Цепочки чисел, упорядоченные своей двоичной записью

[rishelie]

Каждому конечному подмножеству $A$ натуральных чисел можно взаимно однозначно поставить в соответствие число

$$ 2^A=\sum\limits_{k\in A}2^k,\quad 2^\emptyset=0. $$

Натуральные числа, таким образом, можно частично упорядочить по вложению множеств-оснований: $2^A\rightarrow 2^B$, если $A\subset B$. Ясно, что частично упорядоченное множество $(\omega,\rightarrow)$ содержит цепи, в том числе и сквозные.

А вопросы такие:
1. данный объект где-либо использовался/был полезен?
2. обладают ли цепи $(\omega,\rightarrow)$ какими-либо замечательными алгебраическими свойствами?
3. обладают ли цепи $(\omega,\rightarrow)$ какими-либо хорошими асимптотическими свойствами?
4. или все это полная ерунда/банальщина? :)

[Someone]

Ну, это даёт, например, арифметическую модель теории множеств без аксиомы бесконечности. Немножко об этом сказано здесь: http://dxdy.ru/post189553.html#p189553 (сообщение длинное).