Угол между прямой и плоскостью в кубе

[reformator]

Дан куб. Нужно найти тангенс угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BDD_1$



Решил 2 способами, ответы не совпали. Где ошибка, подскажите, пожалуйста.

Пусть длина стороны куба $a=1$

1) Координатный.

Введем прямоугольную систему координат с центром в точке $A$

$\overline{AC_1}=(1;1;1)$

$B(1;0;0)$

$D(0;1;0)$

$D_1(0;1;1)$

Уравнение плоскости $BDD_1$ :

$\begin{vmatrix} x-1 & y-0 & z-0 \\ 0-1 & 1-0 & 0-0 \\ 0-1 & 1-0 & 1-0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x-1 & y & z \\-1 & 1& 0 \\-1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=x+y-1=0$

$\overline N=(1;1;0)$

$\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{3}\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\tg\alpha = \dfrac{1}{\sqrt 2}$

2) Обычный способ:

Проекция $AC_1$ на плоскость $BDD_1$ -- это $OD$

$OD=\dfrac{\sqrt 3}{2}$

$OD=AO=\dfrac{\sqrt 3}{2}$

По теореме косинусов для $\Delta ADO$

$1^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}\cos\alpha$

$-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}\cos\alpha$

$\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$

$\sin\alpga=\dfrac{2\sqrt 2}{3}$

$\tg\alpha=2\sqrt 2$

[alcoholist]

reformator в сообщении #534658 писал(а):

Проекция $AC_1$ на плоскость $BDD_1$ -- это $OD$

неправда, если Вы имеете ввиду ортогональную проекцию

[svv]

Кроме того, в первом варианте Вы находите угол между прямой и нормалью к плоскости, а не между прямой и плоскостью.

[reformator]

alcoholist в сообщении #534670 писал(а):

reformator в сообщении #534658 писал(а):

Проекция $AC_1$ на плоскость $BDD_1$ -- это $OD$

неправда, если Вы имеете ввиду ортогональную проекцию

Тогда проекция $AC_1$ на плоскость $BDD_1$ -- это $B_1D$?

Но ведь точка $B_1$ не принадлежит плоскости $BDD_1$

Разве проекции прямой $AC_1$ на плоскость $BDD_1$ и плоскость $BB_1D_1D$ совпадают?

[svv]

reformator писал(а):

Но ведь точка $B_1$ не принадлежит плоскости $BDD_1$

Просто не знаю, что сказать.

Розовеньким у Вас что обозначено?

[reformator]

svv в сообщении #534687 писал(а):

Кроме того, в первом варианте Вы находите угол между прямой и нормалью к плоскости, а не между прямой и плоскостью.

Спасибо, точно. А как лучше тогда исправить? $\beta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$?

Или можно было как-то проще сделать?

[svv]

Да, можно так.

[reformator]

svv в сообщении #534693 писал(а):

reformator писал(а):

Но ведь точка $B_1$ не принадлежит плоскости $BDD_1$

Просто не знаю, что сказать.

Розовеньким у Вас что обозначено?

Вот теперь желтеньким обозначена плоскость $BDD_1$.
Точка $B_1$ ей не принадлежит в том смысле, что не лежит в этом треугольничке) А вот разноцветной прямоугольной плоскости $BB_1D_1D$ принадлежит. Или это одно и тоже имеется ввиду?

[svv]

reformator, срочно меняйте Ваше представление о плоскостях, пока не засыпались на экзамене. Плоскость простирается неограниченно во всех "своих" направлениях. Как поверхность моря при полном штиле, в те времена, когда Земля ещё была плоская.

-- Пт фев 03, 2012 21:25:15 --

Плоскости $BDD_1$ принадлежат точки $O, B_1$, а также страшное количество точек за пределами куба.

По второму решению.
Вы понимаете, что прямые $AC$ и $A_1 C_1$ перпендикулярны нашей плоскости?

[reformator]

svv в сообщении #534702 писал(а):

reformator, срочно меняйте Ваше представление о плоскостях, пока не засыпались на экзамене. Плоскость простирается неограниченно во всех "своих" направлениях. Как поверхность моря при полном штиле, в те времена, когда Земля ещё была плоская.

-- Пт фев 03, 2012 21:25:15 --

Плоскости $BDD_1$ принадлежат точки $O, B_1$, а также страшное количество точек за пределами куба.

По второму решению.
Вы понимаете, что прямые $AC$ и $A_1 C_1$ перпендикулярны нашей плоскости?

Ок, спасибо. То есть $DB_1$ -- это ортогональная проекция, правильно ли я понимаю?

-- 03.02.2012, 22:36 --

(в координатном методе вроде так должно быть)

$\tg\alpha = \dfrac{1}{\sqrt 2}$ $\tg\beta=\tg(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\ctg(\alpha)=\sqrt 2

[svv]

Нет. Еще одна Ваша ошибка в том, что Вы думаете, что все важные точки уже обозначены на рисунке.

Смотрите, раз $AC$ ортогональна плоскости, значит, чтобы найти (ортогональную) проекцию точки $A$ на плоскость, надо от $A$ двигаться именно по прямой $AC$, пока не достигнем плоскости. И в какой точке достигнем?

-- Пт фев 03, 2012 21:41:38 --

Координатный метод -- да, правильно.

[reformator]

svv в сообщении #534702 писал(а):

По второму решению.
Вы понимаете, что прямые $AC$ и $A_1 C_1$ перпендикулярны нашей плоскости?

Да, понимаю, тк диагонали квадрата перпендикулярны.

Да, еще вся плоскость $AA_1C_1C$ перпендикулярна плоскости $BB_1D_1D$ (только не знаю, как это правильно обосновать). Если посмотреть на куб сверху, то именно так и будет)

-- 03.02.2012, 22:57 --

svv в сообщении #534709 писал(а):

Нет. Еще одна Ваша ошибка в том, что Вы думаете, что все важные точки уже обозначены на рисунке.

Смотрите, раз $AC$ ортогональна плоскости, значит, чтобы найти (ортогональную) проекцию точки $A$ на плоскость, надо от $A$ двигаться именно по прямой $AC$, пока не достигнем плоскости. И в какой точке достигнем?

-- Пт фев 03, 2012 21:41:38 --

Координатный метод -- да, правильно.

Спасибо

Кажется я понял, благодаря Вам!!!... $EE_1$ -- это проекция



Нам нужно найти угол $\angle {AOE}$?

-- 03.02.2012, 23:05 --

$AE=\frac{\sqrt 2}{2}$

$OE=\frac{1}{2}$

$\tg(\angle {AOE})=\frac{AE}{OE}=\sqrt 2$

Вроде как правильно, еще раз спасибо огромное. В следующий раз буду проецировать 2 точки поочередно, а не всю прямую сразу, ибо получилось совсем неправильно!

[svv]

reformator, Вы молодец!
Единственное небольшое замечание к рисунку: $EE_1$ совершенно вертикальна, и, таким образом, параллельна $BB_1$ и $DD_1$. Скорее всего, Вы это и хотели изобразить. Чтобы на рисунке получилось точно, можно строить $E$ как пересечение $AC$ и $BD$. Аналогично $E_1$ -- это пересечение $A_1 C_1$ и $B_1 D_1$.

Да, всё правильно.

[reformator]

svv в сообщении #534746 писал(а):

reformator, Вы молодец!
Единственное небольшое замечание к рисунку: $EE_1$ совершенно вертикальна, и, таким образом, параллельна $BB_1$ и $DD_1$. Скорее всего, Вы это и хотели изобразить. Чтобы на рисунке получилось точно, можно строить $E$ как пересечение $AC$ и $BD$. Аналогично $E_1$ -- это пересечение $A_1 C_1$ и $B_1 D_1$.

Да, всё правильно.

Да, хорошо, спасибо еще раз!