"Почти" гипотеза Эйлера

[alexo2]

Приветствую, а кто может доказать, что немного видоизмененное утверждение из гипотезы Эйлера (той, что является расширением ВТФ) для степени 6 действительно не имеет решений в натуральных числах:

$a^6+b^6+c^6+d^6+e^6 = f^6+7$
Доказательство очень простое (кстати, не только для $f^6+7$, а и для $f^6+8$, $f^6+6$, ещё для примера - $f^6+1123$, и вообще бесконечного ряда чисел, которые очень легко определяются, причем плотность их распределения на числовой прямой постоянна)

[kw_artem]

Приведите ваше доказательство

[alexo2]

Привожу...
Полная сумма цифр для чисел, полученных в результате возведения в 6 степень всегда будет либо 1, либо 9 (в десятеричной системе счисления). Причем, 9 будет получаться при возведении всех чисел кратных 3, а 1 - во всех остальных случаях. При этом, и суммы и разности полученных "сумм цифр" подчиняются обычным алгебраическим правилам сложения и умножения. Например:
$1^6=1 $
$2^6=64 , сумма цифр 6+4 = 10, 1+0=1$
$3^6=729, сумма цифр 7+2+9=18, 1+8=9$
$729+64+1=794, 7+9+4=20, 2+0=2$, и
$9+1+1=11, 1+1=2$
Дальше, думаю объяснять не надо... То есть элементарным перебором возможных сочетаний значений переменных (с помощью перебора их сумм цифр), убеждаемся, что части уравнения не могут различаться на 6, 7 или 8. Это касается не только самих чисел 6, 7, 8, но также и сумм цифр других чисел приводящим к этим числам (в приведенном примере это произвольное число 1123, сумма цифр которого 7). А таких чисел по 3 на каждые 9 чисел числового ряда (следующие 15, 16, 17 и так далее).
Кстати, из этого следует также что в классической формулировке гипотезы Эйлера для степени 6 возможно решение, только при не менее четырех кратных 3-м слагаемых в левой части.
Для третьей степени, кстати, последовательность сумм цифр 1, 8, 9 и т.д.

-- 03.02.2012, 20:09 --

Кстати, можно порассуждать и дальше.. Во-первых, все степени кратные 3, (кроме самой 3, которая дает последовательность 1,8,9,1,8,9 и т.д.) Все последующие также дают ряд 1,1,9,1,1,9... (или все же кратные 6?)Однако, в классической постановке условий гипотезы Эйлером (число слагаемых меньше показателя на 1) уже для 9 степени данный принцип неприменим - не "хватает" цифр в десятеричной системе.
Во-вторых, сильно не разбирался, но, может в других системах счисления цифр "уже" хватит???

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #534601 писал(а):

Привожу...

Дело в том, что сравнение $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6 \equiv f^6+7 \pmod{9}$ неразрешимо, поскольку 6-я степень любого целого числа сравнима с нулём или единицей по модулю $9$. То же справедливо и для сравнения $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6 \equiv f^6+6 \pmod{9}$, однако сравнение $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6 \equiv f^6+8 \pmod{9}$ уже разрешимо, поэтому невозможность равенства $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=f^6+8$ Вы пока не доказали.

[kw_artem]

nnosipov,
здесь вроде сравнение не по остатку. А по сумме цифр числа. (если правильно понял)

[alexo2]

Да, сравнение по сумме цифр, (честно говоря я не математик, но по-моему и по остатку от деления тоже можно)...

[kw_artem]

alexo2 в сообщении #534601 писал(а):

Привожу...

Т.е. вы производите оценку по полной сумме цифр? Сначала для каждого числа, получившегося после возведения в степень, а потом складываете все эти числа (которые могут быть либо 1 либо 9) и сравниваете с правой частью, производя процедуру здесь аналогично?

[alexo2]

Да, именно так.

[kw_artem]

Да, сам посмотрел, посчитал, вроде так -- это на счет доказательства +7.
А вот здесь

alexo2 в сообщении #534601 писал(а):

Это касается не только самих чисел 6, 7, 8, но также и сумм цифр других чисел приводящим к этим числам

по-моему вы не правы. Я попробовал не перебором как вы писали, здесь можно вывести формулу для свободного числа в правой части, при которой существует решение уравнения, а оттуда следует что таких чисел всего несколько (где-то 6 , 7 таких чисел, это из формулы на вскидку)

Причем, самое главное не сказал: все выше рассуждения имеют смысл, если действительно верно:

alexo2 в сообщении #534601 писал(а):

Полная сумма цифр для чисел, полученных в результате возведения в 6 степень всегда будет либо 1, либо 9 (в десятеричной системе счисления). Причем, 9 будет получаться при возведении всех чисел кратных 3, а 1 - во всех остальных случаях.

А это нужно доказывать.

[nnosipov]

kw_artem в сообщении #534631 писал(а):

nnosipov,
здесь вроде сравнение не по остатку. А по сумме цифр числа.

Это одно и то же.

[kw_artem]

nnosipov в сообщении #534646 писал(а):

Это одно и тоже.

поясните пожалуйста, похоже, я не догоняю

-- 03.02.2012, 21:16 --

а понял

[alexo2]

Ну, это просто доказать: сначала для степени 3 докажем, что ряд будет таким 1,8,9. Как известно, в десятиричной системе используется 10 цифр для обозначений всего бесконечного числового ряда. При этом как только уникальные цифры закончатся, числа становятся состоящими из нескольких цифр. При этом, по определению бесконечного натурального ряда имеем, что каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Из всего вышеизложенного имеем бесконечный повторяющийся ряд чисел, представляющих собой сумму цифр каждого последующего числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и т.д. Это ведь не вызывает сомнений? Затем, просто находим сумму цифр степеней первой девятки и убеждаемся, что он повторяющийся 1,8,9 и т.д. Для 6-ой же степени можно просто (если утомительно брать 6-ую степень и убеждаться в том же самом) взять квадраты от 1,8,9... Он-то и будет 1,1,9..

А насчет предыдущего утверждения - необходимым условием равенства любого выражения будет и то же самое выражение относительно его сумм цифр каждого члена.

[nnosipov]

alexo2, ещё раз объясните, почему невозможно равенство $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=f^6+8$.

[kw_artem]

да-да, это тоже самое что сравнение по модулю 9, как раз то, что писал nnosipov.
короче из всего вашего доказательства следуют числа (свободный член), для которого решения уравнения не существует, причем доказано точно. но для чисел, при которых решение может существовать, ваше доказательство является лишь необходимым условием, а не достаточным

-- 03.02.2012, 21:39 --

(Оффтоп)

а разве где-то было уравнение с восьмеркой?

[nnosipov]

(Оффтоп)

alexo2 в сообщении #534518 писал(а):

Доказательство очень простое (кстати, не только для $f^6+7$, а и для $f^6+8$ ...

Вот здесь.