Аддитивная функция

[xmaister]

Пусть $\mu$- аддитивная функция на кольце множеств $\mathcal{R}$. Требуется доказать, что из условия 1)Если $A_n\in\mathcal{R}$, $A_{n+1}\subset A_n$ для любого $n$ и $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\varnothing$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\mu (A_n)=0$ следует условие 2)Если $A_n\in\mathcal{R}$, $A_n\subset A_{n+1}$ для любого $n$ и $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{R}$, то $\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu (A_n)$

Я рассуждал так: Рассматривал последовательность $\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{R}$, такая, что $A_n\subset A_{n+1}$. Пусть $B_n=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\setminus A_n$, тогда $B_{n+1}\subset B_n$ и $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\right)\setminus A_n=\varnothing$. Тогда $\lim\limits_{n\to\infty}\mu (B_n)=0$, значит $\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\mu\left(B_n\cup A_n\right)$, Тогда переходя к пределу получаю $\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)$.
Посмотрите пожалуйста, всё ли здесь четко?

-- 03.02.2012, 19:50 --

И ещё доказывал, что из условия 2 следует счётная-аддитивность $\mu$.
Рассматривал последовательность $B_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_n$, $\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}$- произвольное семейство попарно не пресекающихся множеств, таких что $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{R}$. $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}B_n=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n$, тогда $\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}B_n\right)=\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu (B_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu (A_n)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\mu (A_n)$