Топология, факторпространства.

[JMH]

Цитата:

Отношение эквивалентности в $X=\mathbb{R}^2$ определено следующим образом:
$x_0\times y_0\sim x_1\times y_1$ если $x_0+{y_0}^2=x_1+{y_1}^2$
Пусть $X^*$ - соответствующее факторпространство, оно гомеоморфно хорошо знакомому пространству, какому именно?

Понятно, что отношение эквивалентности связывает точки, лежащие на одной параболе, насыщая $X$ по этому отношению получим факторпространство $X^*$, элементами которого являются параболы. И чему же оно гомеоморфно? Помогите, пожалуйста, разобраться.
Спасибо!

[Narn]

Ну, по-моему, можно просто на каждой параболе взять вершину, и ответ станет очевидным.

[lyuk]

Рассмотрите отобрежение $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$, $f(x,y)=x+y^2$.

[JMH]

Спасибо, всё достаточно просто, я ожидал чего-то более интересного Ещё один вопрос:

Цитата:

Рассмотрим на числовой прямой $\mathbb{R}$ отношение эквивалентности $x\equiv y(\mod 1)$; факторпространство $\mathbb{R}$ по этому отношению называется одномерным тором и обозначается $T$.

Так вот, почему тор, а не одномерная сфера $S^1$? Я понимаю, что одномерный тор изоморфен одномерной сфере, но ведь тор, по определению, произведение сферы (в одномерном случае - нульмерной) на отрезок?
И ещё, если рассматривать топологические группы $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{Z},+)$, то факторгруппа $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ опеделяет ту же самую $S^1$, так?

[a_nn]

А Вы рассмотрите дву/многомерный случай. Оттуда и название.

[JMH]

Ага, в предыдущем посте я сморозил, тор - произведение двух сфер, в случае одномерного тора - одномерной и нульмерной. А в двумерном случае да, ясно, что будет тор. Спасибо.

[Someone]

$n$-мерный тор - произведение $n$ окружностей.

[JMH]

Спасибо! Вот, что бывает, когда примеры дают до определений...