Пределы множеств

[xmaister]

Пусть $F_0=X$. Доказать, что $X=(F_0\setminus F_1)\cup (F_1\setminus F_2)\cup (F_2\setminus F_3)\cup\ldots\cup\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}F_n$.
Думал рассмотреть последовательности $A_n=\bigcup\limits_{k=0}^{n-1}F_k\setminus F_{k+1}$ и $B_n=\bigcap\limits_{k=0}^{n}F_n$, тогда $\mathrm{Lim}_{n\to\infty}A_n=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}F_k\setminus F_{k+1}$ и $\mathrm{Lim}_{n\to\infty}B_n=\bigcap\limits_{k=0}^{n}F_n$. Рассмотрим $A_n\cup B_n=\bigcup\limits_{k=0}^{n-1}F_k\setminus F_{k+1}\cup\bigcap\limits_{k=0}^{n}F_n$ и хотел посчитать предел объединения $A_n$ и $B_n$ но он не считается...

[alcoholist]

$X\setminus (F_1\cap A)=(X\setminus F_1)\cup (X\setminus A)=\ldots$

$=\bigcup_{i\ge 1} X\setminus F_i=\bigcup_{i\ge 0}(F_i\setminus F_{i+1})$

[xmaister]

alcoholist
То, что $X\setminus\bigcap_{n=0}^{\infty}F_n=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty}X\setminus F_n$ это понятно. Но почему оно равно $\bigcup_{i\ge 0}(F_i\setminus F_{i+1})$?

[alcoholist]

$(X\setminus A)\cup (X\setminus B)=(X\setminus A)\cup (A\setminus B)$

для любых $A,B\subset X$

[a_nn]

Можно и напрямую: пусть $x\inX\setminus\bigcap_{n=0}^{\infty}F_n$
тогда $\exist n: x\notin F_n$, найдем минимальный такой номер и т.д.
Ну и в другую сторону...

[xmaister]

alcoholist в сообщении #534219 писал(а):

$(X\setminus A)\cup (X\setminus B)=(X\setminus A)\cup (A\setminus B)$

Тогда для любого конечного $n$ получается $\bigcup\limits_{k=0}^{n}{X\setminus F_k}=X\setminus F_0\cup\bigcup\limits_{k=0}^{n}F_0\setminus F_k$. А в случае счетного объединения тоже верно?

[alcoholist]

конечно, верно... если точка принадлежит объединению множеств, значит найдется среди них множество, которому она принадлежит)))

[xmaister]

А, да. Получается, что верно, это я затупил. $\mathrm{Lim}_{n\to\infty}\left(\bigcup\limits_{k=0}^{n}{X\setminus F_k}\right)=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}{X\setminus F_k}=\mathrm{Lim}_{n\to\infty}\left(X\setminus F_0\cup\bigcup\limits_{k=0}^{n}F_0\setminus F_k\right)=$
$X\setminus F_0\cup\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}F_0\setminus F_k$. Но я в упор не пойму, как это может помочь

[a_nn]

Как-то Вы все усложняете, по-моему...
Там просто в лоб можно доказать, по определениям основных операций.

[xmaister]

(a_nn)

Это задача идёт после главы пределы последовательностей множеств в Куратовском-Мостовском. Вот я хотел потренироваться эти определения применять. Иначе, зачем они тогда вообще нужны.

[a_nn]

OK, если упражняетесь.

Тогда тут

xmaister в сообщении #534246 писал(а):

$\mathrm{Lim}_{n\to\infty}\left(\bigcup\limits_{k=0}^{n}{X\setminus F_k}\right)=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}{X\setminus F_k}=\mathrm{Lim}_{n\to\infty}\left(X\setminus F_0\cup\bigcup\limits_{k=0}^{n}F_0\setminus F_k\right)=$
$X\setminus F_0\cup\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}F_0\setminus F_k$.

у Вас все уже сделано.
С учетом того, что $X\setminus\bigcap_{n=0}^{\infty}F_n=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty}X\setminus F_n$ и $X\setminus F_0=\emptyset$.

[xmaister]

Всё. Разобрался. $\bigcup\limits_{k=1}^{n}X\setminus F_k=\bigcup\limits_{k=0}^{n}F_k\setminus F_{k+1}$. Тогда $\mathrm{Lim}_{n\to\infty}\bigcup\limits_{k=1}^{n}X\setminus F_k=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}X\setminus F_k=\mathrm{Lim}_{n\to\infty}\bigcup\limits_{k=0}^{n}F_k\setminus F_{k+1}=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}F_k\setminus F_{k+1}$. $\left(X\setminus\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}F_k\right)\cup\bigcap\limits_{k=0}^{\infty}F_k=X$

[a_nn]

угу