Вывод формулы Сонина.

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума.
Пусть $f(x)$ имеет непрерывную вторую производную на $Q \leq x \leq R$. Пусть

$$ \rho(x) = 1/2 - \lbrace x \rbrace , \sigma(x) = \int\limits_{0}^{x} \rho(z) dz $$

Тогда верна следующая формула (формула Сонина) :

$$ \sum\limits_{Q < x \leq R} f(x) = \int\limits_{Q}^{R} f(x) dx + \rho(R) f(R) - \rho(Q) f(Q) - \sigma(R) f'(R) + \sigma(Q) f'(Q) + \int\limits_{Q}^{R} \sigma(x)f''(x)dx (1) $$

Доказательство, которое предлагает Виноградов :
Пусть $x_{1} \in \mathbb{Z}, Q \leq \alpha < \beta \leq R, x_{1} <\alpha<\beta<x_{1} + 1.$
Интегрируя по частям два раза получаем :

$$ -\int\limits_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho'(x)f(x)dx = \rho(\beta)f(\beta) - \rho(\alpha)f(\alpha) - \sigma(\beta)f'(\beta) + \sigma(\alpha)f'(\alpha) + \int\limits_{\alpha}^{\beta} \sigma(x) f''(x)dx (2) $$

Тут, вроде, все нормально. Далее автор пишет, что, в частности, при $Q \leq x_{1} , x_{1} + 1\leq R$, переходя к пределу, имеем

$$ -\int\limits_{x_{1}}^{x_{1} + 1} f(x) = -1/2f(x_{1} + 1) - 1/2f(x_{1}) + \int\limits_{x_{1}}^{x_{1} + 1}\sigma(x) f''(x)dx (3) $$

Далее он пишет, что нужная формула теперь получается без всякого труда.
Я что-то не могу получить формулу (3). Вот у меня так. Во-первых, $\rho(x_{1}) = 1/2, \rho(x_{1} + 1) = 1/2$. Ну получаем из (2)

$$ -\int\limits_{x_{1}}^{x_{1} + 1} f(x) = 1/2f(x_{1} + 1) - 1/2f(x_{1}) - f'(x_{1} + 1)\int\limits_{0}^{x_{1}+1} \rho(z) dz + f'(x_{1})\int\limits_{0}^{x_{1}} \rho(z) dz + \int\limits_{x_{1}}^{x_{1} + 1}\sigma(x) f''(x)dx = $$ $$ =1/2f(x_{1} + 1) - 1/2f(x_{1}) + \int\limits_{0}^{x_{1}} \rho(z) dz(f'(x_{1}) - f'(x_{1}+1)) + \int\limits_{x_{1}}^{x_{1} + 1}\sigma(x) f''(x)dx. $$

Я вот на этом и остановился..Можно теорему Лагранжа применить для разности производных, но дальше тоже не знаю что делать..И еще я не понял, как теперь, имея формулы (2), (3), получить нужную формулу.

[3.14]

Упс..У меня там ошибка при получении формулы (3)..Там интегралы за скобку не выносятся..В общем получается просто тогда

$$ -\int\limits_{x_{1}}^{x_{1} + 1} f(x) = 1/2f(x_{1} + 1) - 1/2f(x_{1}) - f'(x_{1} + 1)\int\limits_{0}^{x_{1}+1} \rho(z) dz + f'(x_{1})\int\limits_{0}^{x_{1}} \rho(z) dz + \int\limits_{x_{1}}^{x_{1} + 1}\sigma(x) f''(x)dx $$

А что вот дальше делать...

[xmaister]

Вашу формулу надо получать не из (2), а после перехода к пределу. У Вас же $x_1$- целое и поэтому интегралы от дробных частей на отрезке $[x_1,x_1+1]$ убьются. Суммируйте полученное после перехода к пределу выражение от $[Q]+1$ до $[R]$, а потом добавьте сумму от $Q$ до $[Q]+1$ и от $[R]$ до $R$ и получите, что требуется. В частности, если $Q$ и $R$- целые, слагаемые, содержащие сигму будут нулевые.

[Oleg Zubelevich]

3.14 в сообщении #533439 писал(а):

(формула Сонина) :

$$ \sum\limits_{Q < x \leq R} f(x) $$

а что это такое по определению?

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #534098 писал(а):

а что это такое по определению?

Как написано в Виноградове это сумма по целым точка.

[3.14]

ой..я не очень все понял.. во-первых, насчет перехода к пределу, вот что куда устремлять?

Цитата:

Суммируйте полученное после перехода к пределу выражение от $[Q]+1$ до $[R]$, а потом добавьте сумму от $Q$ до $[Q]+1$ и от $[R]$ до $R$ и получите, что требуется. В частности, если $Q$ и $R$- целые, слагаемые, содержащие сигму будут нулевые.

во-вторых, я должен суммировать формулу (3) или как? т е вот так что ли?

$$ \sum\limits_{[Q]+1}^{[R]}- \int\limits_{x_1}^{x_1 + 1} f(x) dx= \sum\limits_{[Q]+1}^{[R]}(-1/2 f(x_1+1) - 1/2 f(x_1) + \int\limits_{x_1}^{x_1 +1} \sigma(x) f''(x)) $$

Потом так же остальные суммы, просто меняя пределы суммирования? А как используется формула (2)?

[xmaister]

3.14 в сообщении #536460 писал(а):

во-первых, насчет перехода к пределу, вот что куда устремлять?

Переходить к пределу надо после того, как вы проинтегрировали по частям. У Вас $\alpha$ и $\beta$ зажато между $x_1$ и $x_1+1$. $\alpha\to x_1+$, $\beta\to (x_1+1)-$.

3.14 в сообщении #536460 писал(а):

я должен суммировать формулу (3) или как?

Да суммировать надо её.

3.14 в сообщении #536460 писал(а):

$$ \sum\limits_{[Q]+1}^{[R]}- \int\limits_{x_1}^{x_1 + 1} f(x) dx= \sum\limits_{[Q]+1}^{[R]}(-1/2 f(x_1+1) - 1/2 f(x_1) + \int\limits_{x_1}^{x_1 +1} \sigma(x) f''(x)) $$

Ничего не понял, откуда такая формула взялась? Почему у интегралов $ \int\limits_{x_1}^{x_1 +1} \sigma(x) f''(x)dx $ и $\int\limits_{x_1}^{x_1 + 1} f(x) dx$ пределы по прежднему $x_1$ и $x_1+1$? (3) у Вас вот:

$$ -\int\limits_{x_{1}}^{x_{1} + 1} f(x) = -1/2f(x_{1} + 1) - 1/2f(x_{1}) + \int\limits_{x_{1}}^{x_{1} + 1}\sigma(x) f''(x)dx$$

.

[3.14]

может вот ак :

$$ -\int\limits_{[Q]+1}^{[R]} f(x) dx = -1/2\sum\limits_{[Q]+1 \leq x \leq [R]} f(x) - 1/2\sum\limits_{[Q]+1 \leq x \leq [R]} f(x) + \int\limits_{[Q] + 1}^{[R]} \sigma(x) f''(x) dx $$

?

я вроде не правильно там просто f(x) просуммировал?

[xmaister]

3.14 в сообщении #536705 писал(а):

$$ -\int\limits_{[Q]+1}^{[R]} f(x) dx = -1/2\sum\limits_{[Q]+1 \leq x \leq [R]} f(x) - 1/2\sum\limits_{[Q]+1 \leq x \leq [R]} f(x) + \int\limits_{[Q] + 1}^{[R]} \sigma(x) f''(x) dx $$

Не правильно просуммировали. Должно быть так:

$$ -\int\limits_{[Q]+1}^{[R]} f(x) dx = -\sum\limits_{[Q]+1 \leq x \leq [R]} f(x)+1/2f([Q]+1)+1/2f([R])+ \int\limits_{[Q] + 1}^{[R]} \sigma(x) f''(x) dx $$

Дальше запишите по формуле (2) интегралы от $Q$ до $[Q]+1$ и от $[R]$ до $R$. Заметьте, что в интервалах $(Q,[Q]+1)$ и $([R],R]$ нет целых точек.