Сумма степеней натуральных чисел

maravan · 08/07/07 97

Изучал степенные ряды и наткнулся на интересную закономерность, по сути получилась рекуррентная формула для получения суммы степеней натуральных чисел.

Хотел уточнить, есть ли практическая ценность полученного алгоритма:

Дано:
$n \in \mathbb{N}$
$p \in \mathbb{N}$
Сумму степеней буду обозначать $S$ , в скобках - та степень ( $p$ ), для которой считаем сумму, например $S(0)$ - считаем сумму нулевых степеней до $n$
Очевидно, что $S(0) = n$

Получение рекуррентной формулы $S(1)$ через $S(0)$ :
1. Найдем неопределенный интеграл от $S(0)$ , получим формулу: $\frac{n^2}{2}$ , приведем эту формулу к такому виду, чтобы у члена высшей степени в знаменателе стояло число равное степени, т.е. необходимо поделить результат интегрирования на $p$ . Обозначим эту формулу как $K_{1}(n)$ - функция от $n$ , найдем $K_{1}(-1)$ , $p = 1$ , получим $K_{1}(-1) = \frac{1}{2}$ .
2. Выпишем: $S(1) = \int \frac{S(0)}{p} {dn} + K_{1}(-1) n$

Получение общей рекуррентной формулы $S(p)$ через $S(p-1)$ :
3. Общая формула: $S(p) = \int \frac{S(p-1)}{p} {dn} + K_{p}(-1) n$

Примеры:
1. $S(1) = \int \frac{S(0)}{1} {dn} + K_{1}(-1) n$ , $K_{1}(n) = \frac {n^2}{2}$ , $p = 1$ , $K_{1}(-1) = \frac{1}{2}$ , $S(1) = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}$
2. $S(2) = \int \frac{S(1)}{2} {dn} + K_{2}(-1) n$ , $K_{2}(n) = \frac {n^3}{3} + \frac {n^2}{2}$ , $p = 2$ , $K_{2}(-1) = \frac{1}{6}$ , $S(2) = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}$
3. $S(3) = \int \frac{S(2)}{3} {dn} + K_{3}(-1) n$ , $K_{3}(n) = \frac {n^4}{4} + \frac {n^3}{2} + \frac {n^2}{4}$ , $p = 3$ , $K_{3}(-1) = 0$ , $S(3) = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4}$
4. $S(4) = \int \frac{S(3)}{4} {dn} + K_{4}(-1) n$ , $K_{4}(n) = \frac {n^5}{5} + \frac {n^4}{2} + \frac {n^3}{3}$ , $p = 4$ , $K_{4}(-1) = -\frac{1}{30}$ , $S(4) = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}$

Собственно натолкнуло меня на эту мысль то, что коэффициенты многочлена $(x+y)^n$ можно посчитать через неопределенный интеграл:
1. $F(1) = (x+y)^1 = x + y$
2. $F(2) = (x+y)^2 = 2 \int (x+y) {dx} + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$
...

Sonic86 · 08/04/08 8564

Что-то не очень понятно.
Иоганн Бернулли умел считать суммы степеней еще в 17-м веке.
http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%A7%D0 ... 0%BB%D0%B8
Рекуррентная формула для чисел Бернулли через биномиальные коэффициенты тоже есть.
Можно также почитать в книге Грэхем Кнут Паташник Конкретная математика. Ну и еще много где.

В чем отличие того, что Вы нашли от того, что уже найдено?