Сумма степеней натуральных чисел

[maravan]

Изучал степенные ряды и наткнулся на интересную закономерность, по сути получилась рекуррентная формула для получения суммы степеней натуральных чисел.

Хотел уточнить, есть ли практическая ценность полученного алгоритма:

Дано:
$n \in \mathbb{N}$
$p \in \mathbb{N}$
Сумму степеней буду обозначать $S$, в скобках - та степень ($p$), для которой считаем сумму, например $S(0)$ - считаем сумму нулевых степеней до $n$
Очевидно, что $S(0) = n$

Получение рекуррентной формулы $S(1)$ через $S(0)$:
1. Найдем неопределенный интеграл от $S(0)$, получим формулу: $\frac{n^2}{2}$, приведем эту формулу к такому виду, чтобы у члена высшей степени в знаменателе стояло число равное степени, т.е. необходимо поделить результат интегрирования на $p$. Обозначим эту формулу как $K_{1}(n)$ - функция от $n$, найдем $K_{1}(-1)$, $p = 1$, получим $K_{1}(-1) = \frac{1}{2}$.
2. Выпишем: $S(1) = \int \frac{S(0)}{p} {dn} + K_{1}(-1) n$

Получение общей рекуррентной формулы $S(p)$ через $S(p-1)$:
3. Общая формула: $S(p) = \int \frac{S(p-1)}{p} {dn} + K_{p}(-1) n$

Примеры:
1. $S(1) = \int \frac{S(0)}{1} {dn} + K_{1}(-1) n$, $K_{1}(n) = \frac {n^2}{2}$, $p = 1$, $K_{1}(-1) = \frac{1}{2}$, $S(1) = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}$
2. $S(2) = \int \frac{S(1)}{2} {dn} + K_{2}(-1) n$, $K_{2}(n) = \frac {n^3}{3} + \frac {n^2}{2}$, $p = 2$, $K_{2}(-1) = \frac{1}{6}$, $S(2) = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}$
3. $S(3) = \int \frac{S(2)}{3} {dn} + K_{3}(-1) n$, $K_{3}(n) = \frac {n^4}{4} + \frac {n^3}{2} + \frac {n^2}{4}$, $p = 3$, $K_{3}(-1) = 0$, $S(3) = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4}$
4. $S(4) = \int \frac{S(3)}{4} {dn} + K_{4}(-1) n$, $K_{4}(n) = \frac {n^5}{5} + \frac {n^4}{2} + \frac {n^3}{3}$, $p = 4$, $K_{4}(-1) = -\frac{1}{30}$, $S(4) = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}$

Собственно натолкнуло меня на эту мысль то, что коэффициенты многочлена $(x+y)^n$ можно посчитать через неопределенный интеграл:
1. $F(1) = (x+y)^1 = x + y$
2. $F(2) = (x+y)^2 = 2 \int (x+y) {dx} + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$
...

[Sonic86]

Что-то не очень понятно.
Иоганн Бернулли умел считать суммы степеней еще в 17-м веке.
http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%A7%D0 ... 0%BB%D0%B8
Рекуррентная формула для чисел Бернулли через биномиальные коэффициенты тоже есть.
Можно также почитать в книге Грэхем Кнут Паташник Конкретная математика. Ну и еще много где.

В чем отличие того, что Вы нашли от того, что уже найдено?

[maravan]

2 Sonic86:

Цитата:

В чем отличие того, что Вы нашли от того, что уже найдено?

Отличие в том, что для вычисления не нужно знать как значения чисел Бернули, так и значения биномиальных коэффициентов.

[Null]

Что-то у вас $K_l(-1)$ на числа Бернулли похожи.

[Sonic86]

maravan в сообщении #534087 писал(а):

Отличие в том, что для вычисления не нужно знать как значения чисел Бернули, так и значения биномиальных коэффициентов.

У меня такое ощущение, что Вы вычисляете их неявно Во всяком случае все равно минимум $O(p)$ операций на вычисление.
Сейчас точно не скажу, надо на свежую голову, но ощущение именно такое.