Комбинаторика, простая задачка!

[Nalali]

Здравствуйте!
Условие задачи
Из группы в которой 7 мужчин и 4 женщины необходжимо выбрать 6 человек так, чтоб среди них было не менее 2х женщин. Сколькими способами можно это сделать?

Сначала определим вероятность того,что в группе всего 11 человек,а нам нужно только 6 выбрать:
$ C_{11}^6 = 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot =55400$

Дальше нужно видимо применить формулу n(n-1)(n-2)...(n-k+1). только я не пойму как это все дело вывернуть....

[3.14]

Здравствуйте.Для начало неплохо бы вспомнить основные формулы: сочетание, размещение и тд. Я точно не знаю, давно такие задачи не решал. Можно сначала посчитать сколькими способами можно выбрать из 11 6 человек независимо от пола. Получится какое-то число. А потом отнимайте кол-во способов выбрать только мужчин и кол-во способов выбрать 5 мужчин и 1 женщину. Вроде так можно действовать. Хотя, еще раз повторюсь, точно не знаю. Кстати, неплохо было бы, если вы привели бы свои соображения.

[Carden]

3.14 в сообщении #533741 писал(а):

Для начало неплохо бы вспомнить основные формулы: сочетание, размещение и тд

Nalali в сообщении #533726 писал(а):

$ C_{11}^6 = 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot =55400$

[xni]

Вы почти правильно всё подметили. Всего вариантов выбрать 6 человек из 11 $C_11^6 = \frac{11!}{6! 5!}$.
Среди них есть "плохие" --- там где нет девушек, или где она одна.
Способов выбрать из 11 человек группу без девушек есть столько же, сколько способов выбрать 6 парней из 7, т.е. $C_7^6$.
Способы выбрать из 11 человек группу с одной девушкой такие: сначала выберем одну девушку. Это делается $C_4^1$ способами. Затем добавим к ней всевозможные сочетания молодых людей, $C_7^5$. Так как для каждой девушки выбор сочетания молодых людей не накладывает никаких ограничений, то их нужно перемножить: $C_4^1 \cdot C_7^5$. Вот и всё!

[Nalali]

Спасибо огромное Вам за помощь, но нам же нужно,чтоб девушек было не менее 2х!
Ззначит я думаю,что решение будет таким:
$C_4^2 \cdot C_7^4 = 2520$
или не правильно?!

[xni]

Вы сейчас выписали число способов выбрать 2 девушек и 4 молодых людей.

[Nalali]

опять не пойму....
Вы говорите,что способы выбрать из 11 человек группу с одной девушкой такие: сначала выберем одну девушку и соответственно 5 парней $C_4^1\cdot C_7^5$. Вот и всё!
а если у нас будет 3 девушки и 3 парня или 4 девушки и 2 парня?!
не пойму я что-то!

[xni]

Смотрите, ни при каких обстоятельствах при выборе одной девушки и 5 парней не получится такая же комбинация как при выборе 2 девушей и 4 парней. Ни при каких. Я обычно говорю в таких случаях, что задача разбита на непересекающиеся классы по количеству девушек.
Соответственно, все комбинации из непересекающихся классов нужно просуммировать.

[Nalali]

Тоесть в конечном итоге выражение должно выглядеть так:
$(C_4^2\cdot C_7^4)+(C_4^3\cdot C_7^3)+(C_4^4\cdot C_7^2)+C_7^6$
или нет?! опять я что-то не поняла(

[xni]

Да, почти верно. Последнее слагаемое только не пойму, что обозначает.

[Nalali]

То,что будут все парни! но нет,я поняла,его нужно убрать,так как должно быть не менее 2х девушек! Верно???

[xni]

Ну да, нас такой вариант со всеми парнями не устраивает.

[Nalali]

Спасибо Вам большое за помощь! Последний штрих..

Получается,что решение это задачи:
$(C_4^2\cdot C_7^4)+(C_4^3\cdot C_7^3)+(C_4^4\cdot C_7^2)= 15 960$
Соответственно сделать мы это может 15960 способами!

или нет.... или 1405,83 ответ!
что-то не могу я нормально даже расеты произвести!

[xni]

Найдите какой-нибудь математический пакет, чтобы не возиться с этими цэшками. Дробным число комбинаций, конечно же, не может быть.

[spaits]

Всего $7$ мужчин, $4$ женщины; надо выбрать группу $6$ человек, в которой не менее $2$ женщин.
Значит, в группе может быть $4$, $3$ или $2$ женщины. Вариантов немного, сразу рассчитаем вероятности, события несовместимые, общая вероятность равна сумме вероятностей.

$P(2m;4g)=\frac{(7\cdot6)\cdot(4\cdot3\cdot2\cdot1)\cdot15}{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\frac{1}{22}$,
так как $C^4_6=C^2_6=15$;
обозначено: $m$ - число мужчин, $g$ - число женщин.

$P(3m;3g)=\frac{(7\cdot6\cdot5)\cdot(4\cdot3\cdot2)\cdot20}{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\frac{10}{33}$,
так как $C^3_6=20$.

$P(4m;2g)=\frac{(7\cdot6\cdot5\cdot4)\cdot(4\cdot3)\cdot15}{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\frac{5}{11}$.

Искомая вероятность $P=\frac{1}{22}+\frac{10}{33}+\frac{5}{11}=\frac{53}{66}$.
Этот способ вычисления вероятности наиболее простой, хоть и не дает решения в общем виде.