Триг. сумму - в произведение.

[Lesobrod]

Начав с
$ \sin \left( x + y \right) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
и
$a \sin x +b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x + \arcsin{\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}})$
хотел получить факторизацию (разложение на множители) выражения вида
$a \sin x +b \cos y$,
но запутался конкретно Похоже, что даже используя фазы,
невозможно получить произведение синусов и косинусов.
Раскрыта ли где-то вообще тема тригонометрической факторизации,
в том числе для более длинных сумм?

[gris]

Многие школьники впадают в ступор даже при виде $\sin 3x + \cos 5x$, хотя, как Вы сказали, использование фаз или формул приведения, помогает.
Я не встречал преобразования суммы в произведение в общем виде, но подобные задачи (с подобранными коэффициентами) бывают и решаются разными хитроумными манипуляциями с аргументами.

[Narn]

Иногда еще может помочь переход от триг. функций к экспонентам ($e^{ix}=\cos x + i \sin x$), и требуемая сумма оказывается суммой членов геометрической прогрессии.

[hippie]

Пусть, для определённости, $|a|<|b|.$
Тогда, при $y=0,$ выражение $a\sin x+b\cos y$ не обращается в 0 ни при каком (действительном) значении $x.$ Следовательно, не может обращаться в 0 и ни один из множителей. Для разложения в произведение синусов и косинусов от неограниченных (в частности линейных) функций это невозможно.

[Lesobrod]

Родил!
Т.к. это мне нужно для процессов во времени, будем искать факторизацию для специальной формы:
$a \sin \left( \omega _2\right t)+\sin \left( \omega _1\right t).$
Общий случай
$a\cdot \sin \left( \omega _1 t +\phi _1\right)+b\cdot \sin \left( \omega _2 t+\phi _2\right)$
рассматривается аналогично.
Введем $\Omega = \omega _2 - \omega _1$
Тогда:
$a \sin \left( \omega _2\right t) \equiv a \sin \left( \omega _1 t + \Omega t \right)$
Раскрывая сумму аргументов и приводя подобные, получим:
$(1+ a \cos ( \Omega t))\cdot \sin \left( \omega _1 t \right)+a \sin ( \Omega t )\cdot \cos \left( \omega_1 t\right)$
Допустим, что существуют такие параметры $A, \phi$ , что удовлетворяется система уравнений:
$\begin{cases} 1+a \cos ( \Omega t ) = A \cos \phi\\ a \sin ( \Omega t)=A \sin \phi \end{cases}$
Решая её, видим, что такие параметры действительно существуют:
$A=\sqrt{1+a^2 +2 a \cos ( \Omega t))} \phi = arctg \left(\frac{a \sin ( \Omega t)}{a \cos ( \Omega t)+1}\right)$
и
$a \sin \left( \omega _2 t\right)+\sin \left( \omega _1 t\right) = A \sin \left( \omega _1 t +\phi \right)$
Эту факторизацию, конечно, можно назвать формальной,
т.к. никакого реального произведения отдельных синусов и косинусов нет.
Однако, как интуитивно догадался hippie, меня интересуют нули данного выражения. Используя такое разложение, проанализировать их не составляет труда.
Спасибо также за подсказку про экспоненты, попробую применить их для более длинных сумм.