Предел последовательности множеств

[xmaister]

Нужно показать, что условия $\mathrm{Lim}_{n\to\infty}F_n\Delta A=\varnothing$ и $\mathrm{Lim}_{n\to\infty}F_n=A$ равносильны.
В Куратовском-Мостовском: пусть $\mathrm{Lim}_{n\to\infty}F_n\Delta A=\varnothing$. Тогда элемент $x$ принадлежит $F_n\Delta A$ не более чем для конечного числа значений $n$. Почему он принадлежит конечному числу понятно. Если бы $x$ принадлежал бесконечному, тогда он принадлежал бы верхнему пределу, а это противоречие. Не понял откуда берётся этот элемент $x$? Из множеств $F_n$ и $A$? Далее сказано, что $\forall x\exists n_0\forall n>n_0 (x\in F_n\Leftrightarrow x\in A)$. Берём $x\in\overline{\mathrm{Lim}}_{n\to\infty}F_n$ Потом сказано, что $x\in\underline{\mathrm{Lim}}_{n\to\infty}F_n$. Не понял, как из $\forall x\exists n_0\forall n>n_0 (x\in F_n\Leftrightarrow x\in A)$ следует, что $x\in\underline{\mathrm{Lim}}_{n\to\infty}F_n$. Ведь $(x\in\underline{\mathrm{Lim}}_{n\to\infty}F_n)\Leftrightarrow(\exists n\forall k x\in F_{n+k})$.

[JMH]

xmaister в сообщении #533935 писал(а):

Не понял откуда берётся этот элемент $x$?

Ну, как же, у Вас сказано:

xmaister в сообщении #533935 писал(а):

...элемент $x$ принадлежит $F_n\Delta A$

т.е. либо $F_n$ либо $A$, но не обоим вместе.

xmaister в сообщении #533935 писал(а):

Не понял, как из $\forall x\exists n_0\forall n>n_0 (x\in F_n\Leftrightarrow x\in A)$ следует, что $x\in\underline{\mathrm{Lim}}_{n\to\infty}F_n$. Ведь $(x\in\underline{\mathrm{Lim}}_{n\to\infty}F_n)\Leftrightarrow(\exists n\forall k x\in F_{n+k})$.

А Вы подставьте в $(\exists n\forall k x\in F_{n+k})$ $n_0$ вместо $n$ и $n$ вместо $n+k$, сразу будет видно, что это одно и то же.

Кстати, про определение предела у Вас ничего не сказано, я так понял $F_n$ - индуктивная система множеств?

[xmaister]

JMH в сообщении #533948 писал(а):

Кстати, про определение предела у Вас ничего не сказано, я так понял $F_n$ - индуктивная система множеств?

$F_n$- некоторое счетное семейство множеств. Про индуктивное там ничего не говорилось. Поледовательность имеет предел, если нижний равен верхнему.

[a_nn]

xmaister в сообщении #533935 писал(а):

Не понял откуда берётся этот элемент $x$? Из множеств $F_n$ и $A$?

Не обязательно. Для всех верно.

[xmaister]

Для всех для каких? Для всех $F_n$ вы имеете в виду?

[a_nn]

Для всех $x$.