Производная функции

[mr.tumkan]

$u=\ln(e^x+e^{-y})$

$x=t^2$

$y=t^3$

----------------------------
$\dfrac{du}{dt}=?$




$\dfrac{du}{dt}=\dfrac{du}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{du}{dy}\cdot \dfrac{dy}{dt}$

$\dfrac{dx}{dt}=2t$

$\dfrac{dy}{dt}=3t^2$

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{e^x}{e^x+e^{-y}}$

$\dfrac{du}{dy}=-\dfrac{e^{-y}}{e^x+e^{-y}}$

Смущает, что сейчас будет выражение зависеть сразу от $x$, $y$, $t$, так и должно быть?

$\dfrac{du}{dt}=\dfrac{e^x}{e^x+e^{-y}}\cdot 2t-\dfrac{e^{-y}}{e^x+e^{-y}}\cdot 3t^2$

[MaximVD]

Так ведь $x = t^2$, а $y = t^3$. Воспользуйтесь этим!

[mr.tumkan]

Еще возник вопрос по частным производным $z''_{xy}=(z'_x)'_y$ или $z''_{xy}=(z'_y)'_x$?(понимаю, что без разницы, тк все равно $z_{xy}=z_{yx}$) , но все же, что же подразумевает данное обозначение?

-- 31.01.2012, 20:59 --

MaximVD в сообщении #533543 писал(а):

Так ведь $x = t^2$, а $y = t^3$. Воспользуйтесь этим!

Спасибо. А корректна ли такая запись вообще?

$\dfrac{du}{dt}=\dfrac{e^x}{e^x+e^{-y}}\cdot 2t-\dfrac{e^{-y}}{e^x+e^{-y}}\cdot 3t^2$

[myra_panama]

mr.tumkan в сообщении #533544 писал(а):

понимаю, что без разницы, тк все равно $z_{xy}=z_{yx}$

Все равно не. Все не равно.
Откуда с такой уверенностью говорите что эти производные равны?

[3.14]

Здравствуйте. Смешанные производные не всегда равны. Вспомнить хотя бы пример Шварца. Есть определенные условия, которым должна удовлетворять функция, чтобы смешанные производные у нее оказались равными.Если я не ошибаюсь, есть такая теорема Шварца, которая говорит, что если смешанные производные непрерывны в какой-то точке, то они равны в этой точке. Есть еще теорема Юнга. Для равенства смешанных производных в какой-то точке нужно, чтобы просто первые частные производные были дифференцируемы в этой точке. Вроде так.Но лучше, конечно, посмотреть какой-нибудь учебник по анализу.

[mr.tumkan]

Спасибо, имел ввиду -- когда все хорошо (когда есть непрерывность)