Здравствуйте!
Пожалуйста, помогите мне с парой задач по теории вероятности. У меня странная ситуация, я понимаю 100% материалов лекции, но когда дело доходит до задач, наступает какая-то неувереность в себе и многочисленные ошибки (может быть кто-то знает как это исправить?). Поэтому, прошу вас, пробегитесь, пожалуйста, глазами по решениям. Может быть найдёте неточность. Это не должно занять много времени, но мне крайне важно, чтобы в них не было ошибок. Спасибо заранее!
Задача 1Даны множества
,
,
,
, полученные случайного выбора элементов множества
. Каждый элемент выбирается с вероятностью
независимо от выбора на предыдущих шагах.
Вычислить
.
РешениеОпределим вероятность события
. Рассмотрим
как набор из
чисел
,
.
, если элемент
вошёл в
. Из условия задачи видно, что
. Аналогичным образом рассмотрим множество
. Предствим его как набор чисел
,
. Так как попадание некоторого элемента в
, или
, или
равновозможны и независимы, то из этого следует, что
. Тогда событию
соответствует ситуация
. Воспользовавшись ещё раз независимостью событий, получаем, что
(показатель степени
означает, что ситуация не должна произойти ни для одного из
элементов исходного множества).
Вернёмся к исходной постановке задачи.
. Определим 2 события:
и
. В терминах этих событий исходная задача получает вид
. Однако, события
и
не являются независимыми. Попробуем применить условную вероятность:
.
Определим
. По определению это вероятность события
, при условии, что событие
реализовалось. Другими словами событие
можно описать так:
, что
. При этом оговорено, что невозможно выпадение ситуации, когда
.
Промоделируем это следующим образом. Для каждого
будем выбирать 4 числа из
,
соответственно. 1 в каждом случае выпадает с вероятностью
. С какой вероятностью получится, что
, если при выпадении
мы будем проводить процедуру ещё раз.
Вероятность того, что при первом бросании
равна
. Вероятность того, что потребуется второе бросание:
. Таким образом, результат получится такой:
Вышенаписанная формула показывает, какова вероятность того, что некоторое число
окажется в
, но его не будет в
. Для вычисления вероятности
нам нужно, чтобы событие, обратное данному повторилось
раз. То есть
Подставив все уже найденные значения получим ответ:
Задача 2 точек распределены случайным образом, равномерно, независимо друг от друга, на окружности. Найти вероятность того, что выпуклая оболочка, натянутая на эти точки, будет содержать в себе центр окружности.
РешениеПо условию задачи получается, что на
точках будет создан выпуклый многоугольник.
Рассмотрим любые 2 соседние вершины. Если между ними находится дуга длиной более
радиан, следовательно, можно <<отсечь>> половину круга некоторой прямой, которая проходит через центр и не пересекает многоугольник. Таким образом, многоугольник не содержит центра окружности.
Если же между любыми двумя вершинами лежит дуга менее
радиан, то начиная обход против часовой стрелки вершин многоугольника, мы будем каждый раз оставлять центр справа, пока фигура не замкнётся.
Следовательно, ограничение на длину дуги в менее
радиан является необходимым и достаточным условием.
Предположим, что такая дуга нашлась. Она может быть только одна. Это означает, что оставшиеся
точки распределены равномерно на дуге длиной меньше
. Вероятность им всем попасть в неё, учитывая независимость и равномерность распределения,
.
Следовательно, ответ:
- если , 0
- иначе