Знакопеременные суммы

[Ktina]

Для каждого непустого подмножества $A$ множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ определим знакопеременную сумму $S(A)$ следующим образом: если $a_1, a_2, \dots , a_n$ - элементы $A$, расположенные в возрастающем порядке, то $S(A)=a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\dots +(-1)^{n-1}\cdot a_1$

а) Можно ли разбить множество $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ на два ННП (непустых непересекающихся подмножества) с одинаковой знакопеременной суммой?

б) Найти $\sum_{A}{S(A)}$, где $A$ пробегает все непустые подмножества множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, говоря простым языком, сумму всех сумм.

[Bulinator]

Ktina в сообщении #533503 писал(а):

а) Можно ли разбить множество $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ на два ННП (непустых непересекающихся подмножества) с одинаковой знакопеременной суммой?

$\{1\}$ и $\{2,3\}$ не пойдет?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #533503 писал(а):

ННП (непустых непересекающихся подмножества)

Зачем вводить обозначение, если оно используется только один раз?

[ИСН]

Нет, это Вы не разбили, а тiльки понадкусывали. Надо, чтобы все 10 чисел вошли в эти два подмножества.

-- Вт, 2012-01-31, 20:27 --

После чего окажется, что кол-во нечётных чисел во множестве - нечётно (5 штук), и стало быть, суммы у подмножеств будут разной чётности.

[Ktina]

ИСН в сообщении #533511 писал(а):

-- Вт, 2012-01-31, 20:27 --

После чего окажется, что кол-во нечётных чисел во множестве - нечётно (5 штук), и стало быть, суммы у подмножеств будут разной чётности.

Этапять! А вот второй пункт поинтереснее будет (но тоже нетрудный).

[hippie]

Ktina в сообщении #533503 писал(а):

Найти $\sum_{A}{S(A)}$, где $A$ пробегает все непустые подмножества множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, говоря простым языком, сумму всех сумм.

Ответ: 5120.

Все подмножества (в т.ч. пустое) разбиваются на 512 пар, симметрическая разность которых равна $\{10\}.$
Сумма знакопеременных сумм каждой такой пары равна 10. (Пустое множество не мешает, т.к. его сумма равна 0.)

[Ktina]

hippie в сообщении #533576 писал(а):

Ktina в сообщении #533503 писал(а):

Найти $\sum_{A}{S(A)}$, где $A$ пробегает все непустые подмножества множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, говоря простым языком, сумму всех сумм.

Ответ: 5120.

Все подмножества (в т.ч. пустое) разбиваются на 512 пар, симметрическая разность которых равна $\{10\}.$
Сумма знакопеременных сумм каждой такой пары равна 10. (Пустое множество не мешает, т.к. его сумма равна 0.)

Иэтапять!
Только я по индукции доказала, мне так легче было, но идея та же.