Уравнения $y^3-2x^2y-x+1=0$ и $y^3-2x^2y+x^2+x-1=0$ в целых

[lim0n]

nnosipov в сообщении #489377 писал(а):

К сожалению, доказать, что $D=1+8y^3(y-1)$ есть точный квадрат только при $y=0$ и $y=1$ --- это гораздо более сложная задача, чем исходная.

$1+8y^3(y-1)=n^2\Leftrightarrow 8y^3(y-1)=(n-1)(n+1)\Rightarrow 2\nmid n,n=2k+1$
$2y^3(y-1)=k(k+1)$, но т.к. $\gcd (k,k+1)=1$, других решений нет.

[nnosipov]

lim0n в сообщении #502008 писал(а):

$2y^3(y-1)=k(k+1)$, но т.к. $\gcd (k,k+1)=1$, других решений нет.

Вероятно, Вы рассуждаете так: из того, что $\gcd (k,k+1)=1$, а также $\gcd(2y^3,y-1)=1$, Вы заключаете, что $2y^3=k$ и $y-1=k+1$, либо $2y^3=k+1$ и $y-1=k$. Но такой вывод сделать нельзя, поскольку число $k(k+1)$ может иметь много различных разложений в произведение двух взаимно простых сомножителей.

[lim0n]

Да, был неправ, почему-то зациклился на идее "о непредставимости в виде произведения двух последовательных целых чисел".

[nnosipov]

Благодарю всех участников обсуждения задач данной темы. В результате этого обсуждения родилась, а теперь уже и опубликовалась статья "Элементарная версия метода Рунге для кубических уравнений" (Математика в школе, 2012, № 1, с. 64-69). В этой статье подробно разбирается элементарный метод решения задач этой темы. Если у заинтересованных читателей возникнут вопросы/замечания/комментарии по этому поводу, буду рад на них ответить.

[maxal]

nnosipov в сообщении #533535 писал(а):

В результате этого обсуждения родилась, а теперь уже и опубликовалась статья "Элементарная версия метода Рунге для кубических уравнений" (Математика в школе, 2012, № 1, с. 64-69).

А электронной версией статьи можно разжиться?

[nnosipov]

maxal в сообщении #575937 писал(а):

А электронной версией статьи можно разжиться?

Конечно. Сообщите мне ЛС свой e-mail, и я вышлю. (Обычно этот журнал можно найти на infanata.com, но сейчас сайт не работает.)