Метод множителей Лагранжа с континуумом ограничений

[Nimza]

Как в данном случае поступать? Где можно почитать? Пример:

$$ \begin{array}{l} \langle \varphi, f \rangle \to \max\limits_{f} \\ \langle \psi(t), f \rangle = g(t), \;\;\; t \in [0,1] \end{array} $$

где $\psi(t)$, $\varphi$ --- линейные непрерывные функционалы над множеством функций $f$.

Подозреваю, что функция Лагранжа тут обобщается до вида $\mathcal{L}(f,\lambda) = \langle \varphi, f \rangle + \int ( \langle \psi(t), f \rangle - g(t) ) \lambda(dt)$

[Oleg Zubelevich]

аж континум гиперплоскостей пересекаются. Получилось замкнутое линейное многообразие -- пустое скорее всего. Если непустое, то в случае общего положения оно пересекается с гиперплоскостями $(\varphi,f)=y$ при всех $y$ и тогда ответ $\max=\infty$. Если это линейное многообразие параллельно гиперплоскости $(\varphi,f)=0$ то достаточно взять на нем одну точку и подставить в $(\varphi,f)$

[Nimza]

Действительно, спасибо. В случае с ограничениями типа неравенств-то так хорошо не должно получаться, либо в случае с нелинейными ограничениями (но это уж слишком жестко). По этим случаям что нибудь интересное есть? А, вот, в Тер-Крикорове "Оптимальное управление и математическая экономика" рассматривается линейный случай с ограничением вида $f \geqslant 0$, $Tf \leqslant g$, где $T$ -- линейный непрерывный оператор из банахового пространства $F$ в банахово пространство $G$ (частичная упорядоченность вводится заданием замкнутых выпуклых конусов).

[Nimza]

Могу кинуть одну конкретную задачу: найти крайние точки множества

$$ M = \left\{ f(\cdot) \left\mid f(y) = \int\limits e^{-xy} \mu(dx), \;\;\; \mu \text{ -- вероятностные борелевские меры на } \mathbb{R}^n_+ \right. \right\} $$

Задача сводится к задаче оптимизации

$$ \int f(y) \nu(dy) \to \max\limits_{\mu}$$

с ограничениями

$$ f(y) = \int\limits e^{-xy} \mu(dx) $$

Для этой задачи ответ известен (оптимальными мерами будут дельта-функции и это следует из теоремы Бернштейна). Но как его получить, используя только оптимизационные средства (тот же самый метод Лагранжа)?