Принцип наименьшего действия в общем случае имеет только локальный смысл, например, здесь - для движения по небольшим участкам сферы. Тогда он даёт истинные траектории однозначно. Но бывают ситуации, когда истинные траектории "фокусируются", как лучи за собинающей линзой, и продолжаются дальше за "фокус". Тогда принцип наименьшего действия перестаёт работать в буквальной трактовке: при выборе конечной точки движения в "фокусе" траектория с наименьшим действием будет определена неоднозначно, а за "фокусом" - истинная траектория вообще будет соответствовать наибольшему действию (из некоторого подмножества), а не наименьшему. На сфере такое движение будет реализовываться, если оно занимает больше половины большого круга.
Но при всём при этом выполняется незначительно переформулированный принцип
экстремальности действия,
А происходящие неприятности можно понять как изменение типа точки экстремума из минимума в седло (условный максимум), и промежуточный случай между ними (точка безразличного равновесия, если это не нарушается вкладами следующих степеней; в последнем случае вместо фокуса возникает каустика).
В природе можно поставить опыты двух типов: и такие, которые "спокойно переживают" такие условия фокусировки, и такие, которые "ломаются" на них и испытывают качественное изменение поведения. Но вторые - преимущественно волновые и квантовые. Например, в атоме водорода электрон может двигаться от южного к северному полюсу сферы, и "не знать", какой меридиан выбрать. Тогда он будет двигаться по всем меридианам сразу, и это приведёт к состоянию типа орбитали
симметричному относительно вертикальной оси. Аналогично, можно составить оптическую систему, состоящую из собирающей линзы, и зеркал в двух точках фокусировки лучей, и тогда она станет оптическим резонатором, а свет будет заполнять её по всей ширине, а не проходить одним узким лучом.
и 
конец движения есть "южный" 
и "северный" 
полюса. Никаких других сил, кроме удерживающих точку на сфере, нет. Согласно принципу наименьшего действия, между этими положениями точка движется так, что действие имеет экстремальное значение. Это приводит к уравнениям Лагранжа. Но что теперь делать с начальными условиями? Ведь нужно указать в каком направлении (по какому "меридиану") начинает двигаться (и движется в дальнейшем) точка. А в в формулировке принципа наименьшего действия есть только начальное и конечное положение в заданные моменты времени, а они в данном случае не определяют движение полностью. Правильно ли, что принцип наименьшего действия дает нам только рецепт отыскания дифференциальных уравнений движения, а о начальных условиях все равно надо каждый раз додумывать самому?