Проблема с пониманием формулировки арифметической задачи

[Ktina]

Доказать, что для любого натурального $n>1$ существует натуральное число $z$, не представимое в виде $x^n-y!$, где $x$ и $y$ -натуральные числа.
(В. А. Сендеров, журнал "Квант")

Я, кажется, нашла такое $z$, это число 18.
Действительно, при $y>3$ мы получим делящееся на 2 (но не на 4) число $x^n$ - противоречие. А первые три игрека проверяем вручную - 24, 20 и 19 не являются степенями больше первой.

Но, по-моему, тут ошибка в самой формулировке задачи. Надо было так сформулировать: Доказать, что существует такое натуральное $z$, которое при любом натуральном $n>1$ не представимо в виде $x^n-y!$, где $x$ и $y$ -натуральные числа. Чувствуете разницу? Первая формулировка понимается неоднозначно. Обязано ли $z$ быть одним и тем же для всех $n>1$? А в моей переформулировке такой проблемы не возникает.
Я не права?

[svv]

Ну да, одно дело $\forall n>1\;\exists z ...$ , а другое $\exists z\;\forall n>1 ...$ .
Как носитель русского языка заверяю Вас, что формулировка автора скорее должна пониматься в первом смысле, то есть не в Вашем (хотя бы даже она имела меньше смысла с точки зрения математики). Да она и соответствует, как видите, последовательности кванторов.

[Someone]

Ktina в сообщении #533173 писал(а):

Я не права?

Не правы. Процитированная Вами формулировка однозначно означает, что $z$ может зависеть от $n$. Если Вы нашли $z$, которое годится для всех $n$ сразу, то, стало быть, получили более сильное утверждение, чем спрашивалось.

У меня студенты постоянно путаются с этими $\forall\exists$ и $\exists\forall$.

[Ktina]

Someone в сообщении #533183 писал(а):

Ktina в сообщении #533173 писал(а):

Я не права?

Не правы. Процитированная Вами формулировка однозначно означает, что $z$ может зависеть от $n$. Если Вы нашли $z$, которое годится для всех $n$ сразу, то, стало быть, получили более сильное утверждение, чем спрашивалось.

У меня студенты постоянно путаются с этими $\forall\exists$ и $\exists\forall$.

Мы оба не правы. Только что подглядела в решение, там всё гораздо навороченней.
(стр. 22, задача М2039)

[Someone]

Не открывается.

[Ktina]

Someone в сообщении #533226 писал(а):

Не открывается.

Простите.
Попытайтесь поискать в Сети журнал "Квант", номер 5 от 2007-го года.

[Someone]

Нашёл. Там просто доказывается ещё более сильное утверждение, чем $\exists\forall$, а именно, что "существует бесконечно много таких $z$, что для всех $n$...". Но это не означает, что в условии задачи ошибка. Там просто сформулировано более слабое утверждение, нежели возможно.