Предположим даная система функций образует базис.
Предлагаю такую схему.
1. Берем стандартный тригонометрический базис в

.
2. Каждый елемент этого базиса раскладываем в степенной ряд в

. Из единственности разложения следует, что это -- ряд Тейлора.
3. Берем любую функцию

, разложеную в тригонометрический ряд в

(коэффициенты разложения из

).
4. Из непрерывности коэффициентов разложения следует, что разложение функции

в степенной ряд получается формальной подстановкой разложений тригонометрических функций.
5. Т.о, получается, что для фиксированого

коэффициенты с которыми

входит в разложение тригонометрических функций образуют последовательность из
Считаем, проверяем и получаем противоречие.