Базис пространства L2

[David Sunrise]

Нужно доказать что $1,x,x^2...$ не образуют базис в $L^2[-1,1]$,даже не знаю с чего начать, помогите пожалуста...

[Someone]

А что такое базис в $L^2$?

[мат-ламер]

Простите, а про какой базис (Гамеля, Шаудера) идёт речь?

[ewert]

Шаудера, конечно.

Если бы эти одночлены образовывали базис, то коэффициенты ряда могли бы если и расти, то не быстрее квадратного корня из номера (иначе частичные суммы не были бы фундаментальны по норме). Но тогда радиус сходимости этого ряда был бы равен единице, т.е. раскладываемая функция была бы аналитической. А с какой это стати в Эль-два?...

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #532732 писал(а):

Шаудера, конечно.

Если бы эти одночлены образовывали базис, то коэффициенты ряда могли бы если и расти, то не быстрее квадратного корня из номера (иначе частичные суммы не были бы фундаментальны по норме)

не понял, можно подробней

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #532738 писал(а):

не понял, можно подробней

$e_k(x)\equiv x^k;\quad f=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_ke_k(x)\ \Rightarrow\ \|a_ke_k\|=|a_k|\frac1{\sqrt{2k+1}}\to0.$

[Oleg Zubelevich]

ой, действительно, закскок-с

[ewert]

У меня там тоже пара технических заскоков: во-первых, в норме двойка в числителе корня потеряна; во-вторых -- радиус, конечно, не меньше единицы. Может, и ещё чего зазёвано; но какая разница.

[Oleg Zubelevich]

однако надо всетаки отмечать, что в $L^2[-1/2,1/2]$ ряд сходится к тойже функции (с точностью до множества меры нуль) что и в $C[-1/2,1/2]$
это элментарно, но без этого решение не полно

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #532801 писал(а):

однако надо всетаки проверять, что в $L^2[-1,1]$ ряд сходится к тойже функции (с точностью до множества меры нуль) что и в , скажем, $C[-1/2,1/2]$

Ну это уж ловля блох. Раз уж ряд там (хоть на каком отрезке) сходится равномерно -- то, разумеется, и тем более по интегральной метрике и ровно к тому же самому.

[David Sunrise]

А кто нибудь подскажет решение?

[мат-ламер]

Я чего-то не догоняю. Как предыдущие посты соотносятся к " Колмогоров и Фомин п. 7.3.4. Многочлены Лежандра. (первые 4 строки) "?

-- Пн янв 30, 2012 21:26:41 --

Someone в сообщении #532642 писал(а):

А что такое базис в $L^2$?

мат-ламер в сообщении #532717 писал(а):

Простите, а про какой базис (Гамеля, Шаудера) идёт речь?

David Sunrise
Кстати, эти вопросы были к Вам. Может Вы внесёте ясность?

-- Пн янв 30, 2012 21:30:23 --

Из Колмогорова (в сокращении) - "Система $1,x,x^2...$ полна в $L_2[a,b]$. "

[ewert]

Базисом (Шаудера) называется последовательность, по которой можно раскладывать в ряд. И это -- вовсе не то же самое, что плотность линейной оболочки той последовательности; последнее существенно слабее.

-- Пн янв 30, 2012 23:44:17 --

Для сравнения: утверждение станет совсем уж общим местом, если заменить $L_2[-1;1]$ на $C[-1;1]$.

-- Пн янв 30, 2012 23:54:39 --

Да, Лежандры. Лежандры, конечно, образуют базис (в силу своей ортогональности ну плюс там теорема Вейерштрасса). Но дело в том, что взаимоотношения Лежандров с одночленами сложны и нетривильны. У многочленов Лежандра быстро растут коэффициенты.

[lyuk]

Предположим даная система функций образует базис.
Предлагаю такую схему.

1. Берем стандартный тригонометрический базис в $L_2$.

2. Каждый елемент этого базиса раскладываем в степенной ряд в $L_2$. Из единственности разложения следует, что это -- ряд Тейлора.

3. Берем любую функцию $f$, разложеную в тригонометрический ряд в $L_2$ (коэффициенты разложения из $l_2$).

4. Из непрерывности коэффициентов разложения следует, что разложение функции $f$ в степенной ряд получается формальной подстановкой разложений тригонометрических функций.

5. Т.о, получается, что для фиксированого $n$ коэффициенты с которыми $x^n$ входит в разложение тригонометрических функций образуют последовательность из $l_2$

Считаем, проверяем и получаем противоречие.

[qwe123]

Новый Серв Мира Lineage 2 x10 хороший онлайн открытие 15.02.2012 Сайт l2Exilium.ru
Ссылка l2Exilium.ru L2ExiLium.ru - High Five 5 - Новости
Комплекс серверов Lineage High Five Part 5, захвати власть в этом жестоком мире!