Как нарисовать гиперкуб?

[Хорхе]

У 3-куба есть симметрия порядка 8? А ну-ка поподробней.

[INGELRII]

Предлагаю свой вариант "красивого" изображения гиперкуба на плоскости. Сначала вписываем в скружность квадрат. Потом делаем следующий шаг: поворачиваем изображенную фигуру на угол $\frac{\pi}{4}$ и соединяем попарно соседние вершины. Получили изображение трехмерного куба. Далее делаем шагов сколько потребуется, на каждом уменьшаем угол поворота ровно вдвое.

Правда, большинство квадратных граней будут изображаться самопересекающимися четырехугольниками Но зато любые две вершины можно отобразить друг в друга поворотом/зеркальным отображением!

[Хорхе]

Ладно, Munin, можете не думать, нет там элементов порядка 8. Максимум 6.

Между тем, получается, что шестнадцатиугольного красивого тессеракта (шект) все же не существует (в частности, конструкция INGELRII не проходит).

Сначала о том, откуда берется порядок 8. По определению, группа симметрий шекта (грусишект):
1) является подгруппой $D_{16}$, действующей транзитивно на его вершинах.
2) изоморфна подгруппе группы симметрий тессеракта.

Из пункта 2) следует, что в грусишекте нет элементов порядка 16. Тогда единственный вариант, удовлетворяющий 1) - это все четные повороты плюс симметрии с осью, проходящей через середину стороны (сравните с восьмиугольным красивым кубом). Тут я мог ошибиться, но в любом случае грусишект должен содержать записанную группу.

Теперь, все симметрии 4-мерного куба (кстати, и в большей размерности это тоже правильно) имеют такой вид, как приведенный мною пример симметрии порядка 8: это замена нескольких координат плюс перестановка координат. Из них порядок 8 имеют те и только те, где меняется нечетное количество координат, а перестановка является циклом длины 4. Легко проверить, что орбиты действия таких симметрий состоят из двух циклов длины 8, причем один из этих циклов проходит последовательно через соседние вершины, а другой нет. Что противоречит транзитивности.

В большей размерности тем более не существует (там просто-напросто нет элементов подходящего порядка в группе симметрий гиперкуба).

[INGELRII]

(Оффтоп)

У меня группа состоит из двух элементов: поворот на угол $\frac{\pi}{2^{n-2}}$ и симметрия относительно диаметра, проходящего через середины самых коротких ребер, соединяющих вершины. Отображение любой вершины в любую другую вершины сводится к некоторому количеству этих двух операций.

Но при любой из этих двух операций каждое ребро графа переводится в какое-то другое ребро (по построению). А значит, и сам граф переводится сам в себя. А значит, и при переводе вершины в любую другую вершину граф опять же переведется сам в себя...

Не могли бы Вы указать, где именно я ошибаюсь?

-- 30.01.2012, 14:24 --

UPD: Даже еще более простой способ придумал. Отметим на окружности $2^{n}$ точек. Пронумеруем их от $0$ до $2^{n}-1$. Далее номер каждой точки запишем в двоичной системе счисления. И для каждой точки выполним такое действие: если ее номер в каком-то разряде содержит $0$, то соединяем ее ребром с той точкой, номер которой отличается от ее номера только в этом разряде (и там, соответственно, стоит $1$). Согласитесь, что построенный граф будет изоморфен гиперкубу?

Можете ли Вы указать хотя бы для случая $n=4$ пару вершин, которые нельзя будет отобразить друг в друга?

Всё, сам же и нашел у себя ошибку. Однако пост сохраню, так как сам по себе способ построения графа представляется довольно забавным, пусть даже и не обладает тем свойством, которое от него требовалось.

Прозрел.

[Munin]

Хорхе в сообщении #533008 писал(а):

У 3-куба есть симметрия порядка 8?

Да, опять ошибся.