Симметрическая разность множеств

[qwrus]

Здравствуйте!

Не могу разобраться как связаны основные операции над множествами (пересечение, объединение, симметрическая разность) с понятием сложения по модулю 2?

В настоящий момент я знаком только с теорией множеств (вообще без каких-либо знаний по математической логике) и алгеброй. Операции над множествами понимаю стандартно, сложение по модулю 2 я понимаю как операцию в поле $\mathbb Z_2$ и более никак.

Проблема конкретно возникла при решении задачи доказать ассоциативность симметрической разности. Я доказал с помощью стандартных рассуждений в рамках свойств операций над множествами. А написано доказать используя ассоциативность по модулю 2. Идей никаких. Помогите пожалуйста.

[Someone]

Ну, симметрическая разность - это, в некотором смысле, и есть (поразрядное) сложение по модулю $2$.

[qwrus]

Someone, а поподробнее можно?

[Sender]

$(x \in A\vartriangle B)\Leftrightarrow ((x \in A)\oplus (x \in B))$.

[Евгений Машеров]

А понятие "характеристический вектор множества" предполагается известным? И, соответственно, связь операций над множествами и над х.в.?

[Someone]

Есть понятие характеристической функции множества. Предполагаем вариант теории множеств с универсальным множеством $U$. Все рассматриваемые в теории множества являются подмножествами этого $U$. Характеристической функцией множества $A\subseteq U$, называется функция $I_A\colon U\to\mathbb Z_2$, определяемая равенством

$$I_Ax=\begin{cases}0\text{, если }x\in U\setminus A,\\ 1\text{, если }x\in A.\end{cases}$$

Для конечного $U$ можно говорить о характеристическом векторе (этот термин идёт, кажется, из программирования).

Посмотрите, что происходит с характеристическими функциями множеств при симметрической разности.