Монотонность последовательности. Важен ли номер и способ?

[Andrei94]

Найти все значения параметра $a$, при которых последовательность монотонна.

$x_n=n^2+an$

Ответы не совпадают 2-мя способами

1-ый способ

$$x_{n+1}-x_n=(n+1)^2+a(n+1)-n^2-an=n^2+2n+1+an+a-n^2-an=2n+1+a$$

Т.к. последовательность начинается с $n=1$ ,то $a\ge -3$

2-ой

$y=x^2+ax$

$y'=2x+a$

Т.к. последовательность начинается с $x=1$ ,то $a\ge -2$

Почему не совпадает?

При $a=-3$ все хорошо, последовательность не убывает.

[ИСН]

Во втором способе Вы, кажется, предполагаете, что производная имеет какое-то отношение к вопросу. Какое и почему?

[Andrei94]

ИСН в сообщении #532871 писал(а):

Во втором способе Вы, кажется, предполагаете, что производная имеет какое-то отношение к вопросу. Какое и почему?

Если производная больше нуля, то функция возрастает. А если возрастает функция, то и возрастает последовательность.

[PAV]

Нарисуйте график своей функции $y(x)$ при $a=-2.5$ и посмотрите на него внимательно.

[ИСН]

Посмотрите на последовательность $x_n=\sin\pi n$. Найдите первые несколько членов. Потом найдите производную. Да. Найдите её.

[Andrei94]

PAV в сообщении #532880 писал(а):

Нарисуйте график своей функции $y(x)$ при $a=-2.5$ и посмотрите на него внимательно.

Парабола, вершина при $x=\dfrac{5}{4}$

-- 29.01.2012, 22:45 --

ИСН в сообщении #532881 писал(а):

Посмотрите на последовательность $x_n=\sin\pi n$. Найдите первые несколько членов. Потом найдите производную. Да. Найдите её.

Ок, спасибо, теперь понял. Не всегда такое пройдет

-- 29.01.2012, 23:14 --

То есть вообще нельзя проверять монотонность последовательностей, сопоставляя соответствующую функцию и исследуя ее с помощью производной?

[PAV]

Andrei94 в сообщении #532891 писал(а):

То есть вообще нельзя проверять монотонность последовательностей, сопоставляя соответствующую функцию и исследуя ее с помощью производной?

Почему же нельзя - в одну сторону связь очевидно существует. А вот обратно (как Вы пытались) - нет.

[Andrei94]

PAV в сообщении #532949 писал(а):

Andrei94 в сообщении #532891 писал(а):

То есть вообще нельзя проверять монотонность последовательностей, сопоставляя соответствующую функцию и исследуя ее с помощью производной?

Почему же нельзя - в одну сторону связь очевидно существует. А вот обратно (как Вы пытались) - нет.

А это как в другую сторону? Если на примере $y=\sin(\pi x)$, что-то не очень понял

[Sonic86]

Andrei94 в сообщении #532891 писал(а):

Ок, спасибо, теперь понял. Не всегда такое пройдет

Вы, кстати, вспомните, откуда берется производная при исследовании функции на монотонность? Пишем $\Delta f = f(x + \Delta x)-f(x)$, делим на $\Delta x > 0$ и получаем, что функция возрастает, если $f'(x)>0$. Проведите все рассуждения аналогично для последовательности $a_n$: $a_n$ возрастает, если $\Delta a_n = a_n-a_{n-1}>0$. Ну или для неубывания $\Delta a_n \geqslant 0$ - вот считаете $\Delta a_n$ и дальше аналогично.

[PAV]

Ну в смысле если функция от непрерывного аргумента $f(x)$ монотонна, тогда и любая последовательность значений (в частности, $f(n)$) тоже монотонна. Так что доказывать монотонность через производную - можно.

Однако если монотонность функции нарушается, то некоторые последовательности значений могут все-таки быть монотонными, что Вы наблюдали в своем примере. Так что опровергать монотонность последовательности таким образом - нельзя.

[Andrei94]

Sonic86 в сообщении #532972 писал(а):

Вы, кстати, вспомните, откуда берется производная при исследовании функции на монотонность? Пишем $\Delta f = f(x + \Delta x)-f(x)$, делим на $\Delta x > 0$ и получаем, что функция возрастает, если $f'(x)>0$. Проведите все рассуждения аналогично для последовательности $a_n$: $a_n$ возрастает, если $\Delta a_n = a_n-a_{n-1}>0$. Ну или для неубывания $\Delta a_n \geqslant 0$ - вот считаете $\Delta a_n$ и дальше аналогично.

Понятно, спасибо.

Последовательность возрастает, если $\dfrac{\Delta a_n}{\Delta n}>0$

-- 30.01.2012, 15:40 --

PAV в сообщении #532978 писал(а):

Ну в смысле если функция от непрерывного аргумента $f(x)$ монотонна, тогда и любая последовательность значений (в частности, $f(n)$) тоже монотонна. Так что доказывать монотонность через производную - можно.

Однако если монотонность функции нарушается, то некоторые последовательности значений могут все-таки быть монотонными, что Вы наблюдали в своем примере. Так что опровергать монотонность последовательности таким образом - нельзя.

Но я ведь так и делал для $x_n=n^2-an$, доказывая через производную..Что-то не понял свою ошибку ... Ведь для $2x+a>0$ должно быть все ок.. И я ничего не опровергал именно там.

[PAV]

Andrei94 в сообщении #533088 писал(а):

И я ничего не опровергал именно там.

Ну как же. Когда $a>-2$, то производная показывает монотонность функции $f(x)$, что доказывает и монотонность последовательности. А вот при значениях $-3<a\le -2$ получается "противоречие": монотонности функции непрерывного аргумента нет, однако непосредственный анализ последовательности показывает, что она-таки монотонна. Так вот в этом никакого противоречия нет, здесь как раз пример того, когда из нарушения монотонности функции не следует, что и последовательность будет немонотонна.

[Andrei94]

PAV в сообщении #533095 писал(а):

Andrei94 в сообщении #533088 писал(а):

И я ничего не опровергал именно там.

Ну как же. Когда $a>-2$, то производная показывает монотонность функции $f(x)$, что доказывает и монотонность последовательности. А вот при значениях $-3<a\le -2$ получается "противоречие": монотонности функции непрерывного аргумента нет, однако непосредственный анализ последовательности показывает, что она-таки монотонна. Так вот в этом никакого противоречия нет, здесь как раз пример того, когда из нарушения монотонности функции не следует, что и последовательность будет немонотонна.

Хорошо, спасибо. Значит (я так понял), с помощью производной подобные задания лучше не делать, так как мы можем упустить некоторые значения параметра.

[PAV]

Andrei94 в сообщении #533184 писал(а):

Хорошо, спасибо. Значит (я так понял), с помощью производной подобные задания лучше не делать, так как мы можем упустить некоторые значения параметра.

Нет, не совсем так. Еще раз: если Вы доказали (например, с помощью производной), что функция непрерывного аргумента монотонна, то это доказывает и монотонность последовательности. Так что в эту сторону доказательство работает и в принципе может оказаться проще, чем доказывать монотонность последовательности непосредственно. А вот если монотонности функции не оказалось - тогда из этого, вообще говоря, никаких выводов о последовательности сделать нельзя.

[Andrei94]

То есть функция должна быть монотонна всюду?
Опять на этом примере функция оказывается ведь монотонной, но на разных интервалах.

$y=x^2+ax$

$y'=2x+a$

При $x>-\frac{a}{2}$ функция монотонна (возрастает)

При $x<-\frac{a}{2}$ функция монотонна (убывает)