integral

[man111]

Prove that $\displaystyle \int_{1}^{\alpha}\frac{1+x^{30}}{1+x^{60}}dx = \frac{3\beta}{58}$, Where $0<\beta<1\;\;, \alpha>1$

[ewert]

$\dfrac{1+x^{30}}{1+x^{60}}\leqslant\gamma\,\dfrac{x^{30}}{x^{60}}\ (\forall x\geqslant1);\quad (\gamma-1)x^{90}-x^{60}+\gamma x^{30}\geqslant0;$

$(\gamma-1)t^{2}-t+\gamma\geqslant0\ (\forall t\geqslant1);\quad\gamma>1,\ \dfrac1{2(\gamma-1)}\leqslant1;\quad \gamma\geqslant\dfrac32;$

$\Rightarrow\ \int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1+x^{30}}{1+x^{60}}\,dx<\dfrac32\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{x^{30}}{x^{60}}\,dx.$

[ewert]

Только на самом деле эта оценка (подразумеваемая в условии) явно загрублена: фактически перед интегралом справа достаточно поставить множитель $\gamma=\dfrac{1+\sqrt2}2\approx1.207\ldots$

[man111]

Thanks ewert