Ещё одна проверка на "квадратность"

[Ktina]

В десятичной записи натурального числа ровно 2012 цифр, ровно $2^{n\in\mathbb N}$ из которых - нули, а цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 имеются в пропорции 1:2:3:4:5:6:7:8:9 соответственно. Может ли такое число быть точным квадратом? А простым числом?

[maxal]

Ни квадратом, ни простым быть не может:

$$\sum_{i=1}^9 i^2 \equiv 6 \pmod{9}$$

[Null]

А если количества содержат множитель 3 (например по 6 цифр каждого вида вы же не всеми условиями пользовались)

[Ktina]

Null в сообщении #532450 писал(а):

А если количества содержат множитель 3 (например по 6 цифр каждого вида вы же не всеми условиями пользовались)

Тут дело в ином. Необходимо сперва убедиться в том, что годится лишь одна степень двойки, а там уже как по маслу пойдёт.