Квадратура куба

[Iosif1]

Пока жду оценку на свои работы, хочу спросить: может ли быть выражен любой точный куб через строго формализованную сумму точных квадратов с основаниями, не равными основанию куба? Iosif1

[Lion]

Если ставить задачу так, то, конечно, может: все точные квадраты можно взять единицами. Может, лучше дополнить условие запретом на использование 1 больше одного раза?

Добавлено спустя 3 минуты 15 секунд:

Хотя, с другой стороны, если ставить задачу так, то нужно исключить из рассмотрения число $8=2^3$. Кроме того, простым перебором можно показать, что число 27 в виде искомой суммы не представляется... Так что, судя по всему, логичнее спросить: "А когда так вообще можно сделать?"

[Iosif1]

Lion писал(а):

Кроме того, простым перебором можно показать, что число 27 в виде искомой суммы не представляется

Мне кажется, что напрасно вы так быстро сдаетесь.
$27={24*(1^2)+3}$
Мне кажется, что если это выражение может быть формализовано для общего случая, вопрос поставлен корректно. Iosif1

[Lion]

Iosif1 писал(а):

Мне кажется, что если это выражение может быть формализовано для общего случая, вопрос поставлен корректно. Iosif1

В таком случае я не понимаю, в чем состоит вопрос. Если количество единиц не ограничено, то для любого $x$ имеем $x^3=x^3\cdot 1^2$. Если ограничено, то чем? К тому же, в Вашем разложении 3 --- это не квадрат.

Добавлено спустя 50 минут 39 секунд:

Да, и еще один вопрос. Мы рассматриваем квадраты натуральных чисел, или целых? Если целых, то есть знаменитая теорема Лагранжа, утверждающая, что любое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов.

[Iosif1]

Lion писал(а):

Если целых, то есть знаменитая теорема Лагранжа, утверждающая, что любое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов.

Именно целых. Как я понимаю, по Лагранжу ввиде суммы четырех квадратов, но в каждом случае, это новая задача, или я не прав? А я имею ввиду формализованное выражение, где может как слагаемое, использоваться и основание куба. Верно это больше никому не интересно. Мне просто интересно узнать, известно или нет такое формализованное выражение.Iosif1

[Lion]

Простите мне мою тупость, но я по-прежнему не понимаю, что такое "формализованное выражение". Это означает, что оно не зависит от представляемого числа x? И задача состоит в том, чтобы понять, при каких x возможно разложение $x^3=k_1^2\ldots+k_n^2+x$, где n фиксировано?

[Iosif1]

Lion писал(а):

? И задача состоит в том, чтобы понять, при каких x возможно разложение , где n фиксировано?

Количество слагаемых не обязательно фиксировано, но мы должны иметь возможность определять их количество для любого основания. Меня всегда интересовала возможность использования квадратов как меры куба. В этом случае куб, как аргумент практически может и не рассматриваться.Iosif1

[Lion]

Однако при любых $x>2$ возможны несколько разложений с различным количеством слагаемых в сумме. Так что определить их количество, зная только число x, боюсь, не удатся.

[Iosif1]

Lion писал(а):

Так что определить их количество, зная только число x, боюсь, не удатся.

Решение по литературе существует или нет? Или об этом судить затруднительно? Спасибо за беседу. Если Вы не сдадитесь, мы найдем решение! Iosif1

[АКИМОВ66]

Уважаемый Иосиф Немлихер ! Я выполнил Вашу просьбу по теме
"Ц епочка логических умозаключений Ферма". Встречная просьба. Нашли ли Вы ошибку в данной "цепочке". Акимов Владимир

[Iosif1]

Lion писал(а):

Есть многое на свете, брат Гораций, что и не снилось нашим мудрецам.

Так Вы, Lion, сдались?
Мне так интересно, а никто не откликается.
Дело в том, что выражать все через квадраты очень удобно.
У А.К.Сушкевича в "Теории чисел" Харьков, 1954 используются Квадратичные вычеты. Он, конечно, не знал насколько они эффективны. В противном случае уже давно бы была доказана Большая теорема Ферма. В теме:"Доказательство БТФ" можно посмотреть, как? Квадратичные вычеты "стреляют" в комбинации с использованием $n$ - того счисления. И получается все "О кей!".
Правда, как я понял, мои интересы и интересы завсегдателей форума почему то не пересекаются. Даже с теми из них, кто интересуется теорией чисел. Мне вообще кажется, что в т еории чисел самым главным является число, как основной аргумент, информативность которого пропадает при использовании формул. Ну это уже меня понесло!
Если Вам стало не интересна "Квадратура куба" , все равно дайте знать. Вместо : До свидания. Iosif1

[Батороев]

Насчет суммы не скажу, а вот через разность квадратов можно выразить практически все, что угодно:
$ x^3 = 0,5^2*[(x^2 + x)^2 - (x^2-x)^2] $

[Iosif1]

Батороев писал(а):

Насчет суммы не скажу, а вот через разность квадратов можно выразить практически все, что угодно:

Предположим. Я такого не знал. Правда хотелось, чтобы аргументы были только целочисленные. Мне интересно было узнать? были ли подобные попытки? Мне показался интересным вариант изображения точного куба, например, для нечетных оснований:
${a^3=24*[1^2+2^2+3^2+...(k_i)^2+...((a-1)/2)^2]+a}$, где:
$a$ - любое нечетное число натурального числового ряда.
Мне было интересно узнать, известно ли это?
Я ни в коем случае не считаю формализацию, предложенную Вами, менее интересной. Все эти вопросы возникли у меня ввиду того, что квадраты оказались очень удобны как единица измерения, обеспечивающая линейную зависимость вместо квадратичной, что удалось использовать при разработки алгоритма делимости чисел. Iosif1

[Батороев]

Iosif1 писал(а):

Правда хотелось, чтобы аргументы были только целочисленные.
...Мне показался интересным вариант изображения точного куба, например, для нечетных оснований...

При нечетных x и у меня все целочисленно.
Насчет остального, то я, вряд ли, сумею Вам компетентно ответить.

Единственное:
Как-то, "рассекал" пирамиду послойно через 1 и получалось, что объем любой пирамиды можно выразить, как функцию расстояния от вершины до рассматриваемого "слоя".
Хотел доказать, что Хеопс был математиком, решавшим задачу возможности строительства пирамиды из обломков двух других.

[Iosif1]

Батороев писал(а):

Хотел доказать, что Хеопс был математиком, решавшим задачу возможности строительства пирамиды из обломков двух других.

Насчет пирамид очень интересно, удалось?
Насчет целочисленности при нечетных $a$ не понял. Я имел ввиду ${(0,5)^2=1/4}$.
При этом ваш алгоритм для всех значений $a$, а мой, по моему, только для целочисленных. Но я этого не проверял. Никакой цели для этого не было поставлено. iosif1