Доказать неравенства

[integral2009]

Доказать неравенства

1) $a^4+b^4\geqslant a^3b+b^3a$

Была лишь идея представить в таком виде

$a^4+b^4\geqslant ab(a^2+b^2)$

2) $(a+b)(a+c)(b+c)\geqslant 8abc$

Здесь $a\geqslant 0$; $b\geqslant 0$; $c\geqslant 0$

Неужели здесь нужно раскрыть скобки?

Была еще одна идея переписать в таком виде, предположив, что никакое из чисел не равно нулю.

$(1+\frac{b}{a})(1+\frac{a}{c})(1+\frac{c}{b}) >8$

[gris]

В первой можно считать числа положительными, ибо остальные случаи либо тривиальны, либо сводятся к этому.
И поделить на произаедение квадратов.

[svv]

integral2009 писал(а):

Здесь $a\geqslant 0$; $a\geqslant 0$; $a\geqslant 0$

Неужели здесь нужно раскрыть скобки?

Нет, лучше не надо!

[integral2009]

gris в сообщении #531918 писал(а):

В первой можно считать числа положительными, ибо остальные случаи либо тривиальны, либо сводятся к этому.
И поделить на произаедение квадратов.

Хорошо, спасибо, попробую!

$a^4+b^4\geqslant a^3b+b^3a$

$\dfrac{a^4}{a^2b^2}+\dfrac{b^4}{a^2b^2}\geqslant \dfrac{a^3b}{a^2b^2}+\dfrac{b^3a}{a^2b^2}$

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\geqslant \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$

$t=\dfrac{a}{b}$

$t^2+\frac{1}{t^2}\geqslant t+\dfrac{1}{t}$

$t^2+\frac{1}{t^2}+2\geqslant t+\dfrac{1}{t}+2$

$(\frac{1}{t}+t)^2\geqslant t+\dfrac{1}{t}+2$

$s=\frac{1}{t}+t$

$s^2\geqslant s+2$

$s^2-s-2\geqslant 0$

$(s+1)(s-2)\geqslant 0$

$s\leqslant -1$

$s\geqslant 2$

То, что больше 2 -- ясно как доказать, а вот что делать с меньше -1?

Или есть способы попроще?

-- Пт янв 27, 2012 15:42:03 --

svv в сообщении #531920 писал(а):

Нет, лучше не надо!

Это сарказм?)

[gris]

Ну примерно так. Теперь логически-правильно расставить всё, учитывая, что $s\leqslant 2$ как сумма двух взаимообратных положительных чисел. Впрочем, это можно и внести в доказательство.
$s$ положительное число.

[integral2009]

gris в сообщении #531924 писал(а):

Ну примерно так. Теперь логически-правильно расставить всё, учитывая, что $s\leqslant 2$ как сумма двух взаимообратных положительных чисел. Впрочем, это можно и внести в доказательство.

$s\geqslant 2$

$t+\frac{1}{t}\geqslant 2$

Предположим, что $t>0$, тогда сделаем замену $y^2=t$

$t+\frac{1}{t}\geqslant 2$

$y^2+\frac{1}{y^2}\geqslant 2$

$(y+\frac{1}y)^2\geqslant 0$

Ч.т.д.

Но -- что делать с $s\leqslant-1$?

[gris]

$s$ — сумма двух положительных чисел. Она не может быть меньше -1.

[integral2009]

gris в сообщении #531928 писал(а):

$s$ — сумма двух положительных чисел. Она не может быть меньше -1.

Спасибо!

Точно $a$ и $b$ -- числа одного знака=) (ибо, если разных -- то очевидно, что неравенство в условии выполняется и доказывать нечего)

А как можно поступить со второй задачей 2) ?

[svv]

(Оффтоп)

integral2009 писал(а):

Это сарказм?)

Ага! Посмотрите на цитату, которую я привел. Там Вы три раза пишете $a\geqslant 0$ и спрашиваете, надо ли здесь раскрывать скобки. Ну, как было не отреагировать?

[integral2009]

(Оффтоп)

[gris]

Во второй задаче мне видится геометрический куб со стороной 2. При обобщении — числоскобокмерный.
Там у Вас равенство при разумном делении на $abc$ несправедливо построжело.

[integral2009]

Раскрыл скобки, поделил на $abc$ все получилось)

-- Пт янв 27, 2012 16:16:53 --

gris в сообщении #531944 писал(а):

Во второй задаче мне видится геометрический куб со стороной 2. При обобщении — числоскобокмерный.
Там у Вас равенство при разумном делении на $abc$ несправедливо построжело.

оО Ого, интересное у вас воображение)) Я тут кроме букв ничего не вижу!

Да, все таки там лучше не так строго, так как $a=b=c=1$ нас устроит)

[myra_panama]

integral2009 в сообщении #531930 писал(а):

А как можно поступить со второй задачей 2) ?

$a+b\ge2\sqrt{ab}$

$a+c\ge2\sqrt{ac}$

$b+c\ge2\sqrt{bc}$

Что нибудь дает...

[Shadow]

Вторую задачу можно обощить: Если $x_1x_2...x_n=1, x_i>0, \text { то } (1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)\geqslant 2^n$
Недавно решали похожую.

[integral2009]

myra_panama в сообщении #531954 писал(а):

integral2009 в сообщении #531930 писал(а):

А как можно поступить со второй задачей 2) ?

$a+b\ge2\sqrt{ab}$

$a+c\ge2\sqrt{ac}$

$b+c\ge2\sqrt{bc}$

Что нибудь дает...

Да)) Спасибо, так действительно проще)

-- Пт янв 27, 2012 16:54:25 --

Shadow в сообщении #531958 писал(а):

Вторую задачу можно обощить: Если $x_1x_2...x_n=1, x_i>0, \text { то } (1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)\geqslant 2^n$
Недавно решали похожую.

Спасибо, понятно)))