по p-1 точек на сторонах

[CrabReiter]

Условие такое:
На каждой стороне треугольника выбрано по $p-1$ точек, делящих сторону на $p$ равных частей. Все точки деления соединены отрезками с противолежащими вершинами треугольника. На какое наименьшее число частей разбивается треугольник этими отрезками, если известно, что $p$ - простое число?

У меня вышло, что при $p>2$ их будет $3p^2-3p+1$, но я не уверен, что это правильно. (при $p=2$, понятное дело, 6) И даже если правильно, я немножко не понимаю как это обосновать. Вроде там может сработать теорема Чевы.
Примечание: прошу решать задачу на уровне школьной математики, пусть и олимпиадной.=)

[gris]

Что значит — наименьшее? Количество частей будет зависеть только от $p$. Линейным преобразованием можно перевести треугольник в равносторонний, при этом число, кратность и относительное расположение точек пересечения не изменится. И зачем требовать простоты числа?
Или я ошибаюсь?

[MrDindows]

gris в сообщении #531869 писал(а):

Что значит — наименьшее? Количество частей будет зависеть только от $p$. Линейным преобразованием можно перевести треугольник в равносторонний, при этом число, кратность и относительное расположение точек пересечения не изменится.

А это уже необходимо доказать.
И если я не ошибаюсь, то ТС прав в своих догадках, и доказательство будет выглядеть так:
Докажем, что никакие такие три отрезка, не могут пересекаться в одной точке при $p>2$.
Предположим обратное. Пусть некоторые 3 отрезка в некотором треугольнике пересекаются в одной точке. И каждый из них делит свою сторону треугольника на части в соотношении $a : (p-a)$, $b : (p-b)$, $c : (p-c)$ соответственно. Тогда, по теореме Чевы:
$\frac{a}{p-a}\cdot \frac{b}{p-b}\cdot \frac{c}{p-c}=1$
Или же $abc=(p-a)(p-b)(p-c)$
Или же $2abc=p(p^2-p(a+b+c)+(ab+ac+bc))$
А это не возможно, так как $p$ - простое, больше двух, а числа $a, \ b, \ c$ меньше $p$.

Теперь уже можно выводить формулу ТС.

[hippie]

CrabReiter в сообщении #531860 писал(а):

У меня вышло, что при их будет

Правильно вышло .

Из теоремы Чевы следует, что при нечётном простом $p$ никакие три из проведенных отрезков не пересекаются в одной точке.
Рассмотрим треугольник с проведенными отрезками как граф.
Этот граф имеет $3p$ вершин на границе треугольника и $3(p-1)^2$ вершин (точек пересечения проведенных отрезков) внутри треугольника. Т.е. полное число вершин:
$\text{В} = 3p+3(p-1)^2.$
Кроме того, этот граф имеет $3p$ рёбер на границе треугольника и $3(p-1)(2p-1)$ рёбер внутри треугольника. (Каждый из $3(p-1)$ отрезков разделен на $(2p-1)$ частей.) Т.е. полное число рёбер:
$\text{Р} = 3p+3(p-1)(2p-1).$
Теперь, по формуле Эйлера ($\text{Г}-\text{Р}+\text{В} = 2$) находится количество граней:
$\text{Г} = 3p^2-3p+2.$
Грани данного графа — это части, на которые разрезан треугольник и внешняя область треугольнрика. Таким образом, число частей, на которое разбивается треугольник, на 1 меньше числа граней графа, т.е. равно $3p^2-3p+1.$

В том случае, если $p$ составное, могут возникать тройные точки пересечения. В этом случае количество частей равно $3p^2-3p+1-N,$ где $N$ — число тройных точек пересечения.
По теореме Чевы $N$ равно числу решений уравнения $klm = (p-k)(p-l)(p-m)$ в целых положительных числах, меньших $p.$

gris в сообщении #531869 писал(а):

Что значит — наименьшее? Количество частей будет зависеть только от $p$. Линейным преобразованием можно перевести треугольник в равносторонний, при этом число, кратность и относительное расположение точек пересечения не изменится. И зачем требовать простоты числа?
Или я ошибаюсь?

Количество частей действительно зависит только от $p,$ так что "наименьшее" число частей одновременно и "наибольшее" и "единственное" .

А вот простота $p$ — существенное условие. Оно гарантирует отсутствие тройных точек пересечения.

[CrabReiter]

Спасибо Вам! Значит я не так уж и бездарен))

-- 27.01.2012, 17:18 --

MrDindows в сообщении #531886 писал(а):

Или же $2abc=p(p^2-p(a+b+c)+(ab+ac+bc))$
А это не возможно, так как $p$ - простое, больше двух, а числа $a, \ b, \ c$ меньше $p$.

Вот это единственный момент, до которого я не догадался) а так всё также! Благодарю!

[BVR]

CrabReiter
И эту неточность мы увидели! Но Вы всё равно молодец!

Просьба к участникам этой ветки

Это задача первого тура областной олимпиады. Завтра второй тур. Поэтому завтра не отвечайте на вопросы с 6 утра и хотя бы до 12 часов московского времени!