А будет ли ток?

[obar]

Между обкладками конденсатора движется с постоянной скоростью $v$ заряд $q$.



Определить показания амперметра $I(t)$ как функцию времени.

[Munin]

1. Наплюём на подробности процесса. В начале на нижней обкладке находился заряд (в смысле "заряженная частица с зарядом") $q,$ и электрический заряд на самой обкладке $Q-q,$ где $Q=C\mathcal{E}.$ На верхней был $-Q.$ В конце на верхней обкладке будет $-Q-q,$ то есть через цепь пройдёт заряд $q$ за время $d/(v\cos\alpha).$ Ток будет, куда он денется.

2. Распределение заряда на пластинах по методу отражений будет определяться полем, создаваемым бесконечной цепочкой изображений зарядов - заряженная частица $q$ отражается в двух параллельных зеркалах. Так что поле будет суммой ряда, а заряд - ещё и вычисляться как интеграл от такого поля по поверхности пластины. Способа упростить это вычисление я не вижу. Его можно толком использовать разве что для качественных рассуждений, например, сказать, что в начале и в конце движения ток будет стремиться к нулю.

[ivanhabalin]

obar Я наверное не понимаю. Подскажите, что является носителем заряда между обкладками?

[obar]

В смысле точечный заряд или нет? Точечный, например протон.

[Munin]

Лучше взять маленькую, но макроскопическую крупинку. Заряд протона вы амперметром не заметите.

[obar]

Для активизиции интереса к задаче подкину
Решение 1(сложное). Как уже было отмечено Муниным, для нахождения протекающего тока можно применить метод изображений. Дифференцируя по времени наведенный на пластинах заряд находим

$$ I(x)=qv_\bot R^2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{(r^+_k)^3}+\frac{1}{(r^-_k)^3}\right), \quad x=v_\bot t, $$

где

$$ r^{\pm}_k=\sqrt{(h^{\pm}_k)^2+R^2}\,,\quad h^{\pm}_k=(2k+1)d\pm x, $$

$v_\bot=v\sin\alpha$, $R$ -- радиус конденсатора, $x$ -- расстояние от заряда до одной из обкладок. Можно показать, что в приближении $d\ll R$ эта сумма равна $1/R^2d$ (при желании это несложно проверить численно). В результате для тока получаем замечательный результат

$$ I(t)=\frac{qv_\bot}{d}=\mathrm{const}\,. $$

Такой простой ответ наталкивает на мысль, что должно быть и простое решение...

[Munin]

Чё-то мне помнится, что в знакопеременном ряде нельзя расставлять скобки как захочется, потому что в результате можно получить сходимость к любому числу (как минимум из некоторого интервала). А вы именно это и сделали.

[rustot]

Может тут достаточно общих рассуждений? Отключим конденсатор от цепи. Полный ток проводимости и смещения через него нулевой, а поскольку идеализированный конденсатор создает однородное поле и только между обкладками, то и полный ток через любую плоскость, параллельную пластинам будет нулевым, поэтому создаваемы зарядом ток проводимости при пересечении любой плоскости будет в точности компенсирован встречным током смещения, а значит поле и разность потенциалов будут расти линейно. Следовательно в замкнутой цепи с фиксированным полем ток будет фиксированным.

Хотя не, че то не то наворотил с током смещения :). А может так - поле однородное и постоянное, заряд или над зарядом совершается одна и та же работа все время его полета, значит $U I$ константа. $P = F v = q E v = \frac{q U v}{d} = U I$. Под скоростью тут имеется в виду проекция на линии поля.

[ivanhabalin]

rustot А мне нравится!

[obar]

Munin в сообщении #531839 писал(а):

А вы именно это и сделали.

Нет. После дифференцирования знакопеременный ряд стает знакопостоянным.

[ivanhabalin]

rustot Подскажите, а не проще рассмотреть это, как с переменной ёмкостью, (тем более munin допустил рассматривать заряд как макрочастицу)
с момента отрыва частицы от обкладки конденсатора до контакта с др. обкладкой? На первый взгляд ток во внешней цепи будет, только в момент контакта в конце процесса? Но заряд движется ускорением. Энергия? И в конце Куда?

[Munin]

obar в сообщении #531867 писал(а):

Нет. После дифференцирования знакопеременный ряд стает знакопостоянным.

Хм, наверное, вы правы.

Сырая идея: поделить конденсатор плоскостью, параллельной обкладкам и проходящей через заряд. Из-за того, что заряд точечный, поле в обеих половинках будет одинаково устроено, отличаясь только на масштаб. Дальше записать масштабные соотношения...

[ivanhabalin]

Munin Так всё таки,

Munin в сообщении #529840 писал(а):

Его можно толком использовать разве что для качественных рассуждений, например, сказать, что в начале и в конце движения ток будет стремиться к нулю.

это верно?

[Munin]

С учётом показанного obar, возможно, неверно, впрочем, может быть, там нарушается приближение, при котором он вычислял ряд.

[ivanhabalin]

rustot

ivanhabalin в сообщении #531874 писал(а):

Подскажите, а не проще рассмотреть это, как с переменной ёмкостью, (тем более munin допустил рассматривать заряд как макрочастицу)
с момента отрыва частицы от обкладки конденсатора до контакта с др. обкладкой? На первый взгляд ток во внешней цепи будет, только в момент контакта в конце процесса?