Торможение моторной лодки в спокойной воде

[Ktina]

При движении лодки в спокойной воде сопротивление пятницы среды вызывает замедление, пропорциональное скорости движения. Моторная лодка движется в момент остановки мотора со скоростью 20 узлов, а через полминуты уже со скоростью 10 узлов. С какой скоростью она будет двигаться через две минуты после остановки мотора?

Интуитивно угадываю ответ: если за каждые полминуты скорость уменьшается вдвое, то через две минуты она будет равна $\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$ узла.

Но как доказать, что уменьшения скорости вдвое происходят через равные временные промежутки? Без диффуров - никак?

[svv]

Чтобы получить обоснованный результат, Вам надо учесть условие "замедление пропорционально скорости движения". Как Вы понимаете, это не слишком строгая формулировка (что такое замедление?). Более строгая формулировка этого условия использует понятие производной:

$$\frac{dv(t)}{dt}=-kv(t)\, ,\;\;k>0$$

[phys]

А почему вдвое за равные промежутки времени? Там по экспоненте должна скорость меняться...

[svv]

Экспонента и обеспечивает уменьшение некоторой исходной скорости $v_0=v(t_0)$ в данное количество раз (например, в 2 раза) за время $\Delta t$, не зависящее от исходной скорости $v_0$ или от исходного момента времени $t_0$:
$v(t+\Delta t)=\frac 1 2 v(t_0)$
$e^{-k(t_0+\Delta t)}=\frac 1 2 e^{-kt_0}$
$e^{k\Delta t}=2$
$\Delta t = \frac {\ln 2}k$

Время $\Delta t$ уменьшения скорости в 2 раза постоянно для данного закона замедления -- это и имелось в виду.

[Евгений Машеров]

Без дифуров тут никак нельзя. Потому как в условии прописано соотношение между величиной и её производной. Максимум - можно решить задачу, не опираясь на известные решающему результаты теории дифуравнений. Но про производную знать надо. Поскольку "замедление" - производная от скорости (с точностью до знака). Скажем, это может быть задача по школьному курсу "Алгебра и начала анализа". И школьник, узнав, что производная от экспоненты есть экспонента, догадается, что искомая скорость меняется по экспоненте.

[hippie]

Есть простое соображение. (Это не совсем строгое доказательство, но близко к нему.)

Поскольку замедление пропорционально скорости, то результат не зависит от того в каких единицах измеряется скорость.
Т.е. если вначале скорость равна 20уес (условных единиц скорости), то через полминуты скорость будет равна 10уес.

Вначале уес=1узел;
через полминуты уес=$\frac 12$узла;
ещё через полминуты (т.е. через минуту после начала движения) уес=$\frac 14$узла;
ещё через полминуты (т.е. через полторы минуты после начала движения) уес=$\frac 18$узла.
Таким образом, в конце второй минуты скорость будет равна $10\cdot\frac 18 = \frac 54$узла.

PS Интереснее используя только это рассуждение (И НИКАКИХ ДИФФУРОВ!) найти скорость лодки через 45 секунд после отключения мотора.

[Ktina]

hippie в сообщении #535461 писал(а):

Есть простое соображение. (Это не совсем строгое доказательство, но близко к нему.)

Поскольку замедление пропорционально скорости, то результат не зависит от того в каких единицах измеряется скорость.
Т.е. если вначале скорость равна 20уес (условных единиц скорости), то через полминуты скорость будет равна 10уес.

Вначале уес=1узел;
через полминуты уес=$\frac 12$узла;
ещё через полминуты (т.е. через минуту после начала движения) уес=$\frac 14$узла;
ещё через полминуты (т.е. через полторы минуты после начала движения) уес=$\frac 18$узла.
Таким образом, в конце второй минуты скорость будет равна $10\cdot\frac 18 = \frac 54$узла.

PS Интереснее используя только это рассуждение (И НИКАКИХ ДИФФУРОВ!) найти скорость лодки через 45 секунд после отключения мотора.

$\frac{1}{2\sqrt{2}}$?
(от первоначальной скорости)

[hippie]

Ktina в сообщении #535558 писал(а):

hippie в сообщении #535461 писал(а):

PS Интереснее используя только это рассуждение (И НИКАКИХ ДИФФУРОВ!) найти скорость лодки через 45 секунд после отключения мотора.

$\frac{1}{2\sqrt{2}}$?
(от первоначальной скорости)

Ответ, конечно, правильный! Но это и так понятно. (Окончательная скорость не зависит от способа, которым она была вычислена!)
Главное — получить этот ответ не используя никаких диффуров. Ограничившись только рассуждением, приведенным мной выше:
Поскольку сопротивление среды пропорционально скорости, то ЧИСЛЕННОЕ изменение скорости за заданное время не зависит от ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ скорости.

А если Вы разберётесь с 45секундами, то сможете получить и формулу

$v=\frac{v_0}{2^{\frac t{t_0}}}\qquad$ (где $t_0$ — "Период Полураспада" — время, за которое скорость падает вдвое),

не пользуясь не только диффурами, но и понятием производной.