Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.

[TaiBos]

Доброго времени суток.
Недавно начал читать учебник Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица "Механика".Непонимание пришло с первых страниц,прошу вас помочь разобраться в теории.

То,что понято:
-------------------------------------------------------------------------------
Любая механическая система характеризуется определенной функцией:
$C(q,q',t)$,называемой функцией Лагранжа,где $q$ есть набор координат в момент времени $t$,а $q'$-производная этих координат по времени $t$.
Соответственно,интеграл от этой функции от $t_$ до $t_2$ по $dt$ называется действием,и интеграл этот всегда минимален.
$q$ зависит от $t$,соответственно существует такая функция $q=q(t)$,что действие минимально,и функция эта единственна.
Если заменить функцию $q(t)$ на $q(t)+&q(t)$,где $&q(t)$-вариация $q(t)$,то
действие возрастет.
-------------------------------------------------------------------------------
Первый вопрос-почему вариации функции при разных значениях t равны:
$&q(t_1)=&q(t_2)=0?$
-------------------------------------------------------------------------------
Соответсвенно,если мы подставим замену в действие,то мы получим:

$$\int\limits_{t_1}^{t_2} L(q+ \delta q, q'+\delta q',t) dt - \int_{t_1}^{t_2} L(q,q',t)dt$$

Далее,цитата:
"Разложение этой разности по степеням $&q$ и $&q'$(в подынтегральном выражении) начинается с членов первого порядка.Необходимым условием минимальности действия является обращенеи в нуль совокупности этих членов."
-------------------------------------------------------------------------------
Второй вопрос:не понимаю цитируемый текст.Каким образом происходит разложение,и почему обращение в нуль-необходимое условие минимальности?
-------------------------------------------------------------------------------
Вот.
Надеюсь на вашу помощь.

-Спасибо тому модератору,который подправил интегралы.

[apv]

Вам нужно еще поработать над форматированием текста, а то ж читать невозможно.

TaiBos в сообщении #531627 писал(а):

Первый вопрос-почему вариации функции при разных значениях t равны:

Это Вам нужно почитать про вариационное исчисление, а для первого раза сгодится и ФЛФ, том 5, глава 19 "ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ". Там и рисунки соответствующие есть.

[TaiBos]

apv в сообщении #531631 писал(а):

Вам нужно еще поработать над форматированием текста, а то ж читать невозможно.

TaiBos в сообщении #531627 писал(а):

Первый вопрос-почему вариации функции при разных значениях t равны:

Это Вам нужно почитать про вариационное исчисление, а для первого раза сгодится и ФЛФ, том 5, глава 19 "ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ". Там и рисунки соответствующие есть.

Я стараюсь сделать текст читаемым.Пока что выходит только так,но я учусь.=)
А что есть ФЛФ собственно?

[Парджеттер]

TaiBos в сообщении #531633 писал(а):

А что есть ФЛФ собственно?

Фейнмановские лекции по физике.

-- 26 янв 2012, 19:43 --

Переношу-таки из физики в ПРР(Ф).

[TaiBos]

Ясно.
Спасибо за столь скорый отзыв,поглядим сейчас что к чему.=)

[Oleg Zubelevich]

не видел более неудачной книжки по теор.мех. чем ЛЛ-1. Почитайте Татаринов Лекции по классической динамике. Из адекватных книжек эта, вроде, наиболее доступная для физика.

[TaiBos]

А нам так рекомендуют семинаристы.
На чём базируется ваше утверждение?=)

[Munin]

TaiBos в сообщении #531627 писал(а):

Первый вопрос-почему вариации функции при разных значениях t равны:
$&q(t_1)=&q(t_2)=0?$

На первый взгляд - нипочему. Мы просто так ставим математическую задачу. На второй взгляд - именно такая постановка задачи оказывается эквивалентной обычной задаче Коши для уравнений Ньютона, в том смысле, что для неё выполняется существование и единственность решения, совпадающего с истинным движением механической системы. То есть, дочитайте до вывода уравнений движения, тогда такая постановка задачи окажется мотивированной.

TaiBos в сообщении #531627 писал(а):

Второй вопрос:не понимаю цитируемый текст.Каким образом происходит разложение,и почему обращение в нуль-необходимое условие минимальности?

Здесь подразумеваются математические действия, аналогичные отысканию минимума для обычной функции нескольких переменных (конечного числа переменных). То есть, представьте себе $F(x_1,\ldots,x_n),$ взятую в точке, подозреваемой на минимум. Тогда должно выполняться

$$F(x_1+dx_1,\ldots,x_n+dx_n)-F(x_1,\ldots,x_n)\geqslant 0,$$

дальше эта разность раскладывается в ряд Тейлора, и если член разложения первой степени не равен нулю, можно выбрать достаточно малые $|dx_1|,\ldots,|dx_n|$ так, что этот член превысит все остальные, и неравенство нельзя будет соблюсти во всех направлениях от рассматриваемой точки. Так что, мы вынуждены считать этот член равным нулю, а дальше - можем найти его, дифференцируя $F$ в точке $(x_1,\ldots,x_n).$

-- 26.01.2012 21:03:15 --

Oleg Zubelevich в сообщении #531671 писал(а):

не видел более неудачной книжки по теор.мех. чем ЛЛ-1.

Вы просто путаете раздел физики теоретическая механика, и раздел математики динамика. У них разные цели и задачи. Разумеется, в качестве учебника по второму учебник по первому годится плохо.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #531676 писал(а):

Вы просто путаете раздел физики теоретическая механика, и раздел математики динамика. У них разные цели и задачи

Может объясните?

[anatoliy_kiev]

Munin ответил на все вопросы. Я бы добавил, что возможно следует сначала почитать, например, главу 2 из Голдстейна "Классчиеская механика" (Уравнения Лагранжа и вариационные принципы), иначе смысл слов "давайте проварьируем вот эту штуку", встречающихся дальше в ЛЛ останется для тех, кто не слушал курса вариационного исчисления (а таких большинство, кто начинает читать ЛЛ-1), совершенно непонятным. Вообще, остается загадкой (для меня), почему авторы были настолько скупы (и не только конкретно здесь), что пожалели места для более широкого объяснения понятия вариации, которое потом используется повсеместно по всему их курсу (теорпол так начисто пропитан вариационными принципами). А еще лучше читать (если не сразу, то) параллельно с ЛЛ-1 Медведева "Начала теоретической физики". Он больше останавливается на деталях и ключевых моментах курса, правда у него отсутствует твердое тело (теорпол у Медведева вообще превосходно написан, а для ОТО можно "вернуться" к ЛЛ-2).

[Himfizik]

Oleg Zubelevich в сообщении #531671 писал(а):

не видел более неудачной книжки по теор.мех. чем ЛЛ-1

Oleg, ну что ж Вы так прямо то...?!

Топикстартеру хочу порекомендовать две менее популярные, но стоящие книги авторов В.Г.Сербо, Г.Л. Коткин: "Аналитическая механика" и "Аналитическая механика. Дополнительные вопросы". Вроде в сети они были.

[Oleg Zubelevich]

Himfizik в сообщении #531713 писал(а):

Oleg, ну что ж Вы так прямо то...?!

Что думаю, то и написал. Я вообще не понимаю, зачем выводить все из вариационного принципа. А дисипативные системы, неголономные системы куда?

[apv]

Himfizik в сообщении #531713 писал(а):

В.Г.Сербо, Г.Л. Коткин: "Аналитическая механика" и "Аналитическая механика. Дополнительные вопросы". Вроде в сети они были.

Нашел только вторую, и то без четырех страниц. А книжка действительно стоящая.

[Munin]

anatoliy_kiev в сообщении #531704 писал(а):

Я бы добавил, что возможно следует сначала почитать, например, главу 2 из Голдстейна "Классчиеская механика" (Уравнения Лагранжа и вариационные принципы), иначе смысл слов "давайте проварьируем вот эту штуку", встречающихся дальше в ЛЛ останется для тех, кто не слушал курса вариационного исчисления (а таких большинство, кто начинает читать ЛЛ-1), совершенно непонятным.

+1. "Проварьировать" хотя бы на уровне суметь написать правильные буковки - нужно для чтения ЛЛ, и сам ЛЛ этого навыка не прививает.

anatoliy_kiev в сообщении #531704 писал(а):

А еще лучше читать (если не сразу, то) параллельно с ЛЛ-1 Медведева "Начала теоретической физики".

Тоже +1. Но объём у Медведева сильно скуднее, например, многие задачи электродинамики не рассмотрены, про КМ и не говорю уже, статфизики нет вообще.

Oleg Zubelevich в сообщении #531714 писал(а):

Я вообще не понимаю, зачем выводить все из вариационного принципа.

Это просто оказалось удобным языком, на котором можно унифицировать все разделы физики. Неголономные системы тоже сюда подцепляются, а диссипативные играют не слишком большую роль.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #531721 писал(а):

Неголономные системы тоже сюда подцепляются

как это?

-- Чт янв 26, 2012 21:27:15 --

Munin в сообщении #531721 писал(а):

диссипативные играют не слишком большую роль.

Навье-Стокс, например