"подумать на досуге" - представление числа суммой последоват

[tosheba]

из разряда "подумать на досуге"- какие числа можно разложить суммой последовательных чисел, а какие нельзя?

[arseniiv]

Все можно разложить суммой одного последовательного числа.

Суммой двух можно представить числа вида $n^2 + n$.

Суммой четырёх можно представить числа вида $n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n$.

Суммой двадцати трёх можно представить числа вида $n^{23}+253 n^{22}+30107 n^{21}+2240315 n^{20}[phone] n^{19}[phone] n^{18}[phone] n^{17}[phone] n^{16}[phone] n^{15}[phone] n^{14}+12363045847086207 n^{13}+129006659818331295 n^{12}+1103230881185949736 n^{11}+7707401101297361068 n^{10}+43714229649594412832 n^9+199321978221066137360 n^8+720308216440924653696 n^7+2021687376910682741568 n^6+4280722865357147142912 n^5+6548684852703068697600 n^4+6756146673770930688000 n^3+4148476779335454720000 n^2+1124000727777607680000 n$.

Заметили закономерность?

-- Ср янв 25, 2012 23:41:24 --

Ой. Я, кажется, спутал сумму с произведением.

-- Ср янв 25, 2012 23:41:55 --

С суммами всё гораздо хуже.

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #531296 писал(а):

С суммами всё гораздо хуже.

Нет, там всё просто. Это задачка для детишек. С хорошим ответом.

[arseniiv]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #531300 писал(а):

Нет, там всё просто.

Ну вот, вы всё испортили. Так автору будет более лень, может быть.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Автор ответ-то наверное знает. Может, и доказывать умеет.

[tosheba]

да знаю все просто!)))arseniiv последовательные просто, а не последовательные степенные!!

[Alexu007]

0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105

[tosheba]

это далеко не весь перечень, к томуже не плохо бы вывести закономерность!

[kw_artem]

tosheba в сообщении #531282 писал(а):

какие числа можно разложить суммой последовательных чисел

сумма может быть из любого количества слагаемых?

-- 26.01.2012, 16:16 --

все числа, которые можно представить как $(n+1)(m+\frac{n}{2})$ для любых натуральных $m$ и $n$.
Причем сумма представится $m+(m+1)+\cdots +(m+n)$. просто!

[Zealint]

Что-то похожее было на форуме. Про натуральные числа. Вы к чему вообще тему создали?

Zealint в сообщении #467523 писал(а):

Степени двойки никак не представимы в виде суммы последовательных натуральных чисел. Все остальные числа представимы.

Д-во. Во-первых

$$p+\ldots+q=\frac{(p+q)(q-p+1)}{2}$$

Поскольку множители имеют разную чётность, среди делителей обязательно будет нечётное число, значит степень двойки никак нельзя представить в виде такого произведения.
Во-вторых, если число, скажем $x$, не является степенью двойки, то оно допускает представление в виде $x=(2z+1)2^y$ ($z>0$). То есть нужно подобрать такие $p$ и $q$, чтобы

$$\frac{(p+q)(q-p+1)}{2}=(2z+1)2^y$$

Это всегда можно сделать. Если $2^y>z$, то возьмите

$$ p=2^y-z,q=2^y+z, $$

иначе,

$$ p=z-2^y+1,q=2^y+z $$

[z0ic]

$3 = 1 + 2$ - наверное.

[Alexu007]

kw_artem в сообщении #531546 писал(а):

все числа, которые можно представить как $(n+1)(m+\frac{n}{2})$ для любых натуральных $m$ и $n$.
Причем сумма представится $m+(m+1)+\cdots +(m+n)$. просто!

Что значит m? Должна быть формула с одной переменной, указывающей на порядковый номер в последовательности. Например для n = 13 формула должна выдавать результат 91, а для n = 14 результат 105.

[kw_artem]

$m$ нужна если первое слагаемое суммы и есть $m$. Если условие задачи таково, что сумма должна начинаться с 1 (а дальше 2, 3 и т.д.) тогда нужно $m=1$. Так нужно чтобы с единицы начиналась сумма? Этот вопрос задавал -- никто не ответил.

-- 26.01.2012, 21:35 --

все понял сам по вашей последовательности.
тогда формула $a_n=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad (m=0)$

[Alexu007]

kw_artem в сообщении #531699 писал(а):

тогда формула $a_n=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad (m=0)$

Круто! Сами придумали?

[kw_artem]

Alexu007 в сообщении #531706 писал(а):

Круто! Сами придумали?

Сарказм? Нет не сам, формула арифм. прогрессии.