Натуральные дроби, приближающаяся сверху в 4/3

[Dims]

Я хочу рисовать последовательность всё увеличивающихся прямоугольников, состоящих из целого числа клеток, так, чтобы каждый приближался к размерам стандартного экрана 4:3.

Первые члены последовательности такие:

1х1
2х1
3х1
3х2
4х2
4х3
...

Итеративно, при генерации следующего члена мы смотрим, куда расти, вправо или вниз. Если рост вниз даёт более квадратного члена, то растём вправо.

Не могу понять, нет ли формулы, которая бы за один раз выдавала бы числитель и знаменатель из порядкового номера? Вроде что-то простое, а не соображу...

[svv]

Dims, поясните подробнее, пожалуйста. Ничего не понял.
Может, Вы имели в виду прямоугольники, отношение сторон которых должно быть как можно ближе к 4:3 (т.е. не к размерам экрана, а к пропорциям)? Но тогда почему после 2x1 идет 3x1?

Нет, что-то понятно. Вы от левого верхнего угла экрана строите прямоугольники с целочисленными сторонами $a\times b$ ($a$ откладывается вправо, $b$ вниз). На каждом шаге увеличивается на единицу либо $a$, либо $b$. Но как Вы определяете, когда надо вниз, а когда вправо?

[Dims]

Я хотел так

https://docs.google.com/drawings/pub?id ... =512&h=211

Вариант отсекается либо если пропорция меньше 1,(3), либо, если она дальше от 1,(3), чем вторая.

[svv]

Ну, а я, в свою очередь, показываю, как я Вас понял:

Вашу последовательность целесообразно немного подправить в начале
0x0 1x0 2x0 2x1 3x1 3x2 4x2 4x3 5x3 ...
тогда она приобретет ценное свойство: разности между текущим и предыдущим элементом будут периодичны. Это желательно сделать и потому, что 1,1 -- единственный элемент, который нарушал условие x/y$\geqslant$4/3. Он портил закономерность. А что на ноль делить нельзя -- так это только в школе.

Буду думать.

[MrDindows]

Не оно?)
$x_{7k+1}=4k, \ \ \ \ \ \ y_{7k+1}=3k$
$x_{7k+2}=4k+1, \ y_{7k+2}=3k$
$x_{7k+3}=4k+2, \ y_{7k+3}=3k$
$x_{7k+4}=4k+2, \ y_{7k+4}=3k+1$
$x_{7k+5}=4k+3, \ y_{7k+5}=3k+1$
$x_{7k+6}=4k+3, \ y_{7k+6}=3k+2$
$x_{7k+7}=4k+4, \ y_{7k+7}=3k+2$
Можно конечно это всё скрутить в две формулы) но будет громоздко...

[svv]

Dims, готово.
$x_n=\lfloor \frac{4n+6}{7} \rfloor$
$y_n=\lfloor \frac{3n}{7} \rfloor$

MrDindows, а у меня круче.

[arseniiv]

Для 0-индексированных последовательностей svv имеем:

$x_k = 4 \left\lfloor \frac k7 \right\rfloor + [k \bmod 7 > 2] + [k \bmod 7 > 4]$,
$y_k = 3 \left\lfloor \frac k7 \right\rfloor + [k \bmod 7 > 0] + [k \bmod 7 > 1] + [k \bmod 7 > 3] + [k \bmod 7 = 6]$.

Ой, опоздаль.

-- Ср янв 25, 2012 21:46:53 --

(Оффтоп)

Для более сложных зависимостей от $k$ по модулю $m$ есть смысл придумать обозначение. Например, пусть $\mathsf S \left[ a_0, \ldots, a_{m-1} \right]_k$ ($\mathsf S$ от switch, квадратность скобок напоминает об определении) означает $\sum_{i = 0}^{m-1} [k = i] a_i$. Тогда для последовательности $(8, 1, 7, 2, 8, 1, 7, 2, \ldots)$ формула члена $\mathsf S \left[ 8, 1, 7, 2 \right]_k$. Выглядит удобным в расчётах и на компьютере.

[svv]

arseniiv в сообщении #531224 писал(а):

Для 0-индексированных последовательностей svv

Вам ведь тоже такая нумерация (по крайней мере, в данном случае) больше нравится?

[arseniiv]

Мне она со введения производящих функций больше нравится.

[svv]

Zero must be a natural number!

[arseniiv]

svv, а вы, часом, сначала обобщённые формулы не нашли? Всё никак не пойму, $7 = 3 + 4$ или берётся из других соображений, а самому посмотреть лень.

Вот $6 = 7 - 1$ наверняка, а насчёт семёрки нет уверенности.

[svv]

Нет, я исходил из таких соображений: на каждые семь шагов $x$ должно меняться на четыре шага, а $y$ на три шага. Значит, $\lim\limits_{k\to\infty} \frac {x_k}k =\frac 4 7$, как-то так.

При этом я смотрел на свою "змейку" на картинке.

[arseniiv]

Вот как взять семёрку из общего случая, пока не пойму.

(Немного о другом.)

Если взглянуть на

arseniiv в сообщении #531224 писал(а):

$y_k = 3 \left\lfloor \frac k7 \right\rfloor + [k \bmod 7 > 0] + [k \bmod 7 > 1] + [k \bmod 7 > 3] + [k \bmod 7 = 6]$

svv в сообщении #531213 писал(а):

$y_n=\lfloor \frac{3n}{7} \rfloor$

можно попытаться найти $a_i$ для $\left\lfloor \frac{nk}m \right\rfloor = n \left\lfloor \frac km \right\rfloor + \mathsf S[a_0, \ldots, a_{m-1}]_k$, если даны $n$ и $m$. Тогда можно будет безбоязненно вносить и выносить пианино целые множители в пол и из.

[Dims]

О, спасибо!

-- Чт янв 26, 2012 13:56:23 --

А что это значит:

arseniiv в сообщении #531224 писал(а):

$[k \bmod 7 > 2]$

?

-- Чт янв 26, 2012 14:22:17 --

svv в сообщении #531213 писал(а):

Dims, готово.
$x_n=\lfloor \frac{4n+6}{7} \rfloor$
$y_n=\lfloor \frac{3n}{7} \rfloor$

Да, всё совпадает, ловко!

[arseniiv]

Это т. н. скобки Айверсона, они определяются так:

$$[P] = \begin{cases} 1, & \text{если } P \\ 0, & \text{если не } P. \end{cases}$$

То есть, $[k \bmod 7 > 2]$ равно 1, если $k$ по модулю 7 равно 3, 4, 5 или 6, и равно 0, если $k \bmod 7$ равно 0, 1 или 2.

-- Чт янв 26, 2012 22:24:15 --

Типа [P] = (int)P.