2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Школьное неравенство
Сообщение25.01.2012, 16:10 
Аватара пользователя
Найдите все значения $x$, при каждом из которых неравенство
$(2 - a)x^3  + (1 - 2a)x^2  - 6x + (5 + 4a - a^2 ) < 0$
выполняется хотя бы при одном
$a \in [ - 1;2)$.

 
 
 
 Re: Школьное неравенство
Сообщение25.01.2012, 17:06 
Аватара пользователя
Если $x$ - параметр, то получаем квадратный трехчлен относительно $a$. Далее стандартно.

 
 
 
 Re: Школьное неравенство
Сообщение29.01.2012, 19:19 
Аватара пользователя
Dosaev в сообщении #531183 писал(а):
Если $x$ - параметр, то получаем квадратный трехчлен относительно $a$. Далее стандартно.

Это да, но что далее?

 
 
 
 Re: Школьное неравенство
Сообщение03.02.2012, 18:35 
Аватара пользователя
Теоретически можно было бы воспользоваться формулами Кордано, но даже не считая - очень громоздко... Может кто-нибудь видит идеи попроще?

 
 
 
 Re: Школьное неравенство
Сообщение03.02.2012, 21:54 
поломал голову, но похоже через Кардано придется

 
 
 
 Re: Школьное неравенство
Сообщение04.02.2012, 03:39 
Ответ: $x\in (-\infty;\ -2)\cup (0;\ 1)\cup(1;\ \infty).$

Вследствие непрерывности функции, можно заменить полуинтервал $[-1;\ 2)$ на отрезок $[-1;\ 2].$

Перепишем левую часть неравенства в виде $-a^2 +(-x^3 -2x^2 +4)a+(2x^3 +x^2 -6x+5).$ Эта функция (по переменной $a$) выпукла вверх. Следовательно, если она принимает неотрицательные значения на концах отрезка, то она неотрицательна на всём отрезке.

Определим, при каких $x$ значение функции отрицательно при $a=-1$ или при $a=2.$

I. $a=-1.$
$3x^3 +3x^2 -6x <0,

x\in (-\infty;\ -2)\cup (0;\ 1).$

II. $a=2.$
$-3x^2 -6x+9<0,

x\in (-\infty;\ -3)\cup (1;\ \infty).$

И никаких Кардано! :-)

 
 
 
 Re: Школьное неравенство
Сообщение16.02.2012, 21:27 
Аватара пользователя
Красивое решение. Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group