Интеграл по замкнутому контуру в ТФКП

[Nimza]

Благодаря теореме Коши в ТФКП для вычисления интегралов по $[0,+\infty)$ можно переходить к вычислению интегралов по другим лучам при некоторых условиях на интегрируемую функцию. Вопрос в том, есть ли обобщение этого результата на $n$-мерный случай. Скажем, есть ли возможность свести интеграл по $\mathbb{R}^d$ к интегралу по $\mathbb{R}^d + i\omega$?

[мат-ламер]

Я не специалист и обозначения в конце поста вообще не понял. Так что, если напишу ерунду - извините. Идея вычисления интегралов с помощью вычетов состоит в том, чтобы свести вычисление интеграла по контуру либо по прямой к изучению поведения функции вблизи особых точек (полюсов). Предположу, что возможно следующее обобщение, кооторое для простототы рассмотрим в трёхмерном случае. Пусть у нас в трёхмерном пространстве задано трёхмерное поле с хорошими свойствами. Допустим оно будет потенциально. Допустим у него будет несколько особых точек, в которых оно бесконечно. Допустим мы хотим вычислить поток вектора через замкнутую поверхность, в которой есть эти особые точки. К этой задаче можно свести и вычисление двойного интеграла по какой-то плоскости. Тогда мы можем вычисление этого интеграла свести к вычислению характеристик этих точек. Можем назвать эти характеристики - "зарядами". (Это будет аналог вычетов в ТФКП). Просматривается аналогия с электрическим полем и теоремой Остроградского-Гаусса. Возможно эти построения можно обобщить в каком-то направлении.

[Nimza]

Да, скорее всего формула Остроградского-Гаусса должна здесь помочь. Я имел в виду следующее. Есть интеграл

$$ \int\limits_{\mathbb{R}^d}f(x)dx $$

Рассмотрим интеграл

$$ \int\limits_{\mathbb{R}^d + i \omega} f(z) dz $$

Будут ли они равны, если $\Re{f(z)}$ быстро стремится к нулю при $z \to \infty$? Обозначение: $\mathbb{R}^d + i\omega = \{ z = x+i\omega \mid x \in \mathbb{R}^d \}$.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #530853 писал(а):

Возможно эти построения можно обобщить в каком-то направлении.

Если на таком уровне обобщения, то получается что-то типа когомологий де Рама. Но как я понял Nimza, вопрос был проще, о ТФКП функций нескольких комплексных переменных. (Впрочем, не знаю, проще ли это, может быть, один чёрт.)