Новый вид преобразований Лоренца

[evgeniy]

Преобразования Лоренца в абсолютных координатах имеют сложный вид в случае произвольной скорости системы координат и скорости двигающегося тела, например см. Ю.Б. Румер Спинорный анализ М.: Объединенное Научно-Техническое Издательство НКТП СССР, 1936г, 104с. В относительных координатах преобразование имеет простой вид.

Предложим формулу преобразования Лоренца в относительных координатах при произвольной скорости системы координат и скорости тела
$\Delta x_l^{’}=(\Delta x_l+\Delta x_0 \frac{V_l}{c})/\sqrt{1-\sum_{k=1}^3 \frac{V_k^2}{c^2}},l=1,…,3$
$\Delta x_0^{’}=(\sum_{l=1}^3 \Delta x_l \frac{V_l}{c}+\Delta x_0)\sqrt{1-\sum_{k=1}^3 \frac{V_k^2}{c^2}}\eqno(1) $
Подсчитаем метрический интервал у этого преобразования. Он соответствует на первой строке формулы (2) величине $\Delta x_0^’ $ в квадрате, а на второй строке формулы (2) координатам $\Delta x_l^’ $ в квадрате
$\Delta x_0^{‘2}-\sum_{l=1}^3 \Delta_l^{‘2}=[\Delta x_0^2+2 \Delta x_0 \sum_{l=1}^3 \Delta x_l \frac{V_l}{c}+(\sum_{l=1}^3 \Delta x_l \frac{V_l}{c})^2]/(1-\sum_{k=1}^3 \frac{V_k^2}{c^2})-$
$-[\sum_{l=1}^3 \Delta x_l^2+2 \Delta x_0 \sum_{l=1}^3 \Delta x_l \frac{V_l}{c}+\Delta x_0^2 \sum_{l=1}^3 \frac{V_l^2}{c^2}]/(1-\sum_{k=1}^3 \frac{V_k^2}{c^2})= \eqno(2) $
$=\Delta x_0^2-\sum_{l=1}^3 \Delta x_l^2$
Причем имеем $ (\sum_{l=1}^3 \Delta x_l \frac{V_l}{c})^2=(\sum_{l=1}^3 V_l^2)^2 \Delta t^2/c^2=\sum_{l=1}^3 \Delta x_l^2 \sum_{l=1}^3 \frac{V_l^2}{c^2}$
при этом формула (2) определяет инвариантную величину. Т.е. пространственно-временной интервал в двух системах координат совпадает.
Формула (1) переходит в известную формулу, если скорость движения, совпадает по направлению со скоростью системы координат и равна $V_1,V_2=0,V_3=0$ . Значит, из условия $\Delta x_2=0,\Delta x_3=0$ следует условие $\Delta x_2^{’}=0,\Delta x_3^{’}=0 $ и поэтому если в начальный момент времени справедливо $x_2=x_2^{’},x_3=x_3^’ $, то это будет продолжаться и в следующие моменты времени. При этом координаты $x_0,x_1$ преобразуются стандартным образом.
Представляю как разозлится мой недоброжелатель Munin, прочитав этот текст. Но должен сказать, что все мои идеи на уровне этого текста, такие же неожиданные и смелые, 100 лет существовало преобразование Лоренца, но догадаться до такой его простой формы никто не мог.

[В. Войтик]

evgeniy в сообщении #530702 писал(а):

Но должен сказать, что все мои идеи на уровне этого текста, такие же неожиданные и смелые, 100 лет существовало преобразование Лоренца, но догадаться до такой его простой формы никто не мог.

Хорошая шутка.

[Bulinator]

evgeniy, Ваши формулы не верны. Это видно уже из того, что они не ассоциативны.
Посмотрите книгу Батыгин В.В. Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. В моем издании 2002г. задача 552.

[evgeniy]

Хотелось бы чтобы помимо общих деклараций указали где ошибка.

[Bulinator]

Вы знаете что такое ассоциативность?

[evgeniy]

Конечно знаю (x+y)+z=x+(y+z). Суммируется величина смещения $\sum \Delta x_0 V_l/c$, так что это свойство удовлетворяется. Кроме того суммируется величина запаздывания $\sum_{l=1}^3 \Delta x_l V_l/c$. Потом я не уверен, что это свойство необходимо. Например преобразование ОТО не обладает этим свойством. Главное, чтобы метрический интервал сохранялся.

[Bulinator]

Делайте открытия дальше!

[evgeniy]

Формулу преобразования Лоренца можно переписать в виде
$\Delta x_l^{‘}=\frac{(u_l+V_l)/c}{\sqrt{1-\sum_{k=1}^3 V_k^2/c^2}}\Delta x_0$
$\Delta x_0^{‘}=\frac{(1+\sum_{l=1}^3 u_l V_l/c^2)}{\sqrt{1-\sum_{k=1}^3 V_k^2/c^2}}\Delta x_0$
причем, зная зависимость скоростей тела и скорости системы координат от времени $x_0$, можно путем интегрирования, определить положение тела в двигающейся системе координат.
При этом можно ввести локально инерционную в каждой точке пространства систему отсчета, в которой метрический тензор имеет диагональный вид (1,-1,-1,-1). Эта система отсчета может быть ускоренной, но при этом она в каждой точке локально инерционная. В книге Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теория поля т.II, М.: «Наука», 504с.1973г в параграфе 81, на странице 288 утверждается, что равномерно ускоренную систему отсчета можно заменить постоянным гравитационным полем. Но можно доказать, что в равномерно ускоренной системе отсчета система координат эквивалентна галилеевой с диагональным метрическим тензором. Это можно доказать непосредственным вычислением, или используя выведенные формулы. Т.е. хотя такая замена гипотетически возможна, но из формул следует что она невозможна. Оказывается, что равномерно ускоренная система координат является галилеевой, т.е. метрический интервал в этой системе координат диагонален и состоит из плюс, минус единиц, и значит, гравитационного поля в ней нет. Но при этом в случае преобразования отличного от преобразования Лоренца, метрический тензор меняется, система перестает быть Галилеевой. Если конечное тело не имеет замкнутой орбиты, а двигается вдоль кривой, например с помощью тяги, пропеллера или реактивного двигателя, то для него можно вычислить скорость движения и построить преобразование Лоренца. Если же на него воздействуют внешние силы, например, гравитационные то метрический тензор меняется, и тело не удовлетворяет преобразованию Лоренца. Если тело раскручивать на веревке, то на него действуют внешние центростремительные силы, и оно меняет свой метрический тензор и ускорение можно заменить полем. Если же тело вращается вокруг своей оси, то внешних сил нет и можно ввести локально инерционную систему координат, причем такая система является замкнутой.
С другой стороны вращательное движение обладает метрическим тензором
$ds^2=[c^2-\Omega^2(x^2+y^2)]dt^2-dx^2-dy^2-dz^2-2\Omega y dxdt-2\Omega x dydt $
Но это приближение абсолютно твердого тела, в котором возмущение распространяется с бесконечной скоростью. Если ввести конечную скорость распространения возмущения, то получится локальная система координат Галилея, со скоростью движения частей тела, меньше скорости света. Задачу можно сформулировать следующим образом, имеется стержень, имеющий бесконечную длину. Относительно одного из концов стержня он начинает вращаться. При этом возмущение, вращение стержня, распространяется со скоростью звука по длине стержня. Стержень, как очень длинный кнут, будет изгибаться и начнет вращаться. При этом уравнение движения стержня имеет вид
$\frac{d[\vec r,d\vec p]}{dt}=d\vec M$.
момент сил обусловлен внутренними силами, действующими с разных сторон единицы длины, импульс релятивистский элементарной массы покоя $d\vec p =\rho ds [\vec r,\frac{d\vec r}{dt}]/\sqrt{1-[\vec r,\frac{d\vec r}{dt}]^2/c^2}$, где величина текущая длина стержня. Момент сил равен моменту сил относительной деформации стержня, действующих с двух сторон рассматриваемого объема стержня
$d\vec M=[\vec r(s+ds/2),E\frac{d\vec r(s+ds/2)}{ds}]-[\vec r(s-ds/2),E\frac{d\vec r(s-ds/2)}{ds}]=E\frac{d}{ds}[\vec r,\frac{d\vec r}{ds}]ds$

, где используется модуль Юнга.
При этом уравнения движения запишутся в виде, так как ds от времени не зависит
$\frac{d \rho [\vec r(\alpha),\frac{d \vec r(\alpha)}{dt}]/\sqrt{1-[\vec r(\alpha),\frac{d \vec r(\alpha)}{dt}]^2/c^2}}{dt}=E\frac{\partial }{\partial s}[\vec r(\alpha),\frac{\partial \vec r(\alpha)}{\partial s}], \alpha=t-s/V$

где V величина скорость звука, или скорость распространения возмущения. Уравнение можно свести к дифференциальному уравнению второго порядка относительно одной функции $\vec r(\alpha)$ в зависимости от одного аргумента $-\alpha$
. Вычисляя производные, получим
$\frac{d \rho [\vec r(\alpha),\frac{d\vec r(\alpha)}{d\alpha}]/\sqrt{1-[\vec r(\alpha),\frac{d \vec r(\alpha)}{d\alpha}]^2/c^2}}{d\alpha}=\frac{E}{V^2}\frac{d }{d \alpha}[\vec r(\alpha),\frac{d \vec r(\alpha)}{d \alpha}]$
,
или интегрируя по величине $\alpha $, получим
$[\vec r(\alpha),\frac{d\vec r(\alpha)}{d\alpha}]/\sqrt{1-[\vec r(\alpha),\frac{d\vec r(\alpha)}{d\alpha}]^2/c^2}=\frac{E}{\rho V^2}[\vec r(\alpha),\frac{d \vec r(\alpha)}{d \alpha}]+c$
,
Из этого дифференциального уравнения следует, что скорость стержня меньше скорости света, так как при условии радиуса, стремящегося к бесконечности, получим
$\sqrt{1-[\vec r(\alpha),\frac{d\vec r(\alpha)}{d\alpha}]^2/c^2}=\frac{\rho V^2}{E}$

Таким образом, не ограничиваясь указанием на невозможность существования абсолютно твердого тела, можно разрешить парадокс с бесконечной скоростью вращения абсолютно твердого тела.
Приведенные примеры показывают, можно сказать, что замкнутая система является локально инерционной, в ней метрический тензор имеет вид (1,-1,-1,-1), и в ней гравитационного поля нет, хотя она может иметь ускорение.

[Munin]

evgeniy в сообщении #533113 писал(а):

метрический интервал в этой системе координат диагонален и состоит из плюс, минус единиц, и значит, гравитационного поля в ней нет.

Наличие гравитационного поля определяется не по виду метрического интервала, а по его производным. Символы Кристоффеля в такой системе координат не будут все нулевыми, а это даст силы тяготения (или инерции) в уравнении движения точки, и поправки к уравнениям поля, например, электромагнитного.

evgeniy в сообщении #533113 писал(а):

Но это приближение абсолютно твердого тела, в котором возмущение распространяется с бесконечной скоростью.

Нет, здесь "абсолютно твёрдая" только система координат, которую мы можем задавать вообще как угодно.

[evgeniy]

Я Вас не совсем понял. Раз метрический тензор имеет вид (1,-1,-1,-1) значит символ Кристоффеля равен нулю, он определяется тремя производными от метрического тензора.
Потом я отождествляю систему координат и абсолютно твердое тело, с помощью которого она строится. Самой по себе системы координат не существует, нужна какая-то физическая модель системы координат. Одна из моделей системы координат, это абсолютно твердое тело. Например, расстояние мерить с помощью радиолокатора, и тогда можно определить декартову систему координат.

[Munin]

evgeniy в сообщении #533131 писал(а):

Я Вас не совсем понял. Раз метрический тензор имеет вид (1,-1,-1,-1) значит символ Кристоффеля равен нулю, он определяется тремя производными от метрического тензора.

Ну так он имеет такой вид только в одной точке или на одной линии. А производные берутся по всем четырём направлениям. Какие-то символы Кристоффеля будут не равны нулю. Или вы можете их все свести к нулю, но тогда у вас система координат будет неускоренной.

evgeniy в сообщении #533131 писал(а):

Потом я отождествляю систему координат и абсолютно твердое тело

Ну и зря. Абсолютно твёрдых тел не бывает.

evgeniy в сообщении #533131 писал(а):

Самой по себе системы координат не существует, нужна какая-то физическая модель системы координат.

Нет, не нужна. Системе координат не обязательно существовать физически, она - всего лишь средство математического описания того, что физически существует: псевдориманова пространства-времени и положения тел и полей в нём.

evgeniy в сообщении #533131 писал(а):

Одна из моделей системы координат, это абсолютно твердое тело. Например, расстояние мерить с помощью радиолокатора, и тогда можно определить декартову систему координат.

К сожалению, это возможно только в плоском пространстве-времени и в неускоренном случае - настолько узкий частный случай, что он не представляет абсолютно никакого интереса в ОТО.

[evgeniy]

Munin большое спасибо, действительно система координат Галилеева только по направлению движения.

[evgeniy]

Как можно попытаться составить метрический тензор пространства Галилея. Для этого задаем поле скоростей и строим исходящую из определенной поверхности систему координат. Строим для этой двигающейся системе скоростей преобразование Лоренца, в каждой точке получается свое преобразование Лоренца. Получим преобразование с метрическим тензором Галилея. Но при этом необходимо поместить тело в эту систему координат. Если поместить непрерывную среду в эту систему координат, то при произвольном поле скоростей (возможно ускоренной) получим метрический тензор, соответствующий системе координат Галилея. Но непрерывная среда, это абстракция. Среда всегда дискретна, поэтому возникает задача, построить метрический тензор, учитывающий ускорение каждой дискретной точки среды. Предлагается формула для метрического тензора, учитывающая ускорение среды и переходящая в преобразование Лоренца, вернее в систему координат Галилея
$g_{ik}=h_{ik}+ n_i a_k/c^2 \exp(-|n_i| \lambda/b),\lambda>>1$
где имеем тензор пространства Галилея $h_{ik}$, нормаль относительно направления движения $n_i$, ускорение системы координат $ a_k$, b расстояние между частицами в непрерывной среде.
Тогда символ Кристоффеля будет иметь не нулевой вид и уравнение движения будет учитывать гравитационное поле.
$\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^k u^l=0$
При этом метрический тензор надо строить возможно в другом виде, чтобы сила в уравнении движения совпадала с силой Даламбера. Над формулой метрического тензора необходимо думать.
Но при этом возникает вопрос, почему в метрический тензор не войдет скорость, отношение скорости тела или скорости системы координат к скорости света, а входит ускорение. Во первых центростремительное ускорение может войти, т.е. квадрат скорости тела может входить в комбинации $V^2n/rc^2\exp(-V^2 n/rc^2)$, где удаление по нормали создает затухание. Невозможно составить безразмерную комбинацию скорости и координаты, а просто скорость в метрический тензор войти не может, на бесконечности тензор соответствует системе координат Галилея и скорость должна затухнуть естественным образом.
В случае одиночного тела комбинация затухающего ускорения имеет вид
$g_{ik}=h_{ik}+ n_i a_k/c^2 \exp(-|n_i| |a_k|/c^2) $

А вообще-то затухание ускорения притянуто за уши. У ЛЛ в Теории поля говорится, что на бесконечности поля гравитации и поля ускорения не соответствуют друг другу. Поле гравитации затухает, а поле ускорения нет. Т.е. они не всегда эквивалентны. И не всегда можно определить правильный метрический тензор из ускорения тела, чтобы он затухал на бесконечности. Но тут приходит на помощь преобразование Лоренца и поле скоростей, которое на бесконечности стремится к постоянной скорости, меньше скорости света.

[Munin]

evgeniy в сообщении #533452 писал(а):

Как можно попытаться составить метрический тензор пространства Галилея. Для этого задаем поле скоростей и строим исходящую из определенной поверхности систему координат. Строим для этой двигающейся системе скоростей преобразование Лоренца, в каждой точке получается свое преобразование Лоренца. Получим преобразование с метрическим тензором Галилея.

Нет, не получаете. В каждой отдельной точке вы можете получить соответствующее преобразование, а во всех точках сразу - нет.

Аналог: когда вы берёте первообразную от функции, вы можете сделать так, чтобы она равнялась нулю в любой наперёд заданной точке. Но всегда только в одной. Приравнять её нулю на каком-то отрезке уже нельзя.

evgeniy в сообщении #533452 писал(а):

Но при этом необходимо поместить тело в эту систему координат.

Тело вас только отвлекает, здесь элементарные чисто математические свойства.

evgeniy в сообщении #533452 писал(а):

Предлагается формула

Запомните: сначала сами в чём-то разбираетесь и убеждаетесь в отсутствии ошибок, и только потом предлагаете это публично.

[evgeniy]

Уважаемый Munin. Дело в том, что предлагаемое преобразование лОренца можно записать не в виде конечного отрезка приращений, а в виде дифференциалов. тОгда преобразование можно построить в каждой точке, в каждой точке свой дифференциал.
Кроме того, чтобы реализовать изложенную Вами идею не равенстве нулю символа Кристоффеля вне направления движения тела, надо построить метрический тензор ОТО, чтобы он включал в себя ускорение. Иначе идея повиснет в воздухе.
На счет законченности постов я с вами не согласен. Предлагаются проблемы для обсуждения, возможно не совсем законченные, а далее при наличии комментария они уточняются. Посты это не законченная статья, а предмет для обсуждения. Правда все изложенные идеи должны быть доведены до конца. В частности я не проверил, реализуется ли такой вид метрического тензора.
Сначала я построил диагональный вдоль движения метрический тензор, возможно реализующий уравнение движения с силой Даламбера. Но когда я стал уточнять вид этого тензора, все рассыпалось. Не получается метрический тензор такого вида. Показываю, как один из вариантов метрического тензора не проходит.
Уточняю формулу для метрического тензора тела, двигающегося в системе координат, связанной с полем скоростей. Чтобы реализовать ускоренно двигающуюся систему координат, надо затратить энергию. Т.е. чтобы избежать парадоксов с произвольными системами координат, надо различать реализуемые системы координат и не реализуемые.
У ЛЛ в Теории поля говорится «Неприменимость вращающейся системы отсчета на больших расстояниях связана с тем, что скорость сделалась бы на них большей скорости света, и поэтому такая система не может быть осуществлена реальными телами». Т.е. надо задумываться о возможной реализации системы отсчета и не приводит ли она к противоречиям.
При помещении тела в эту систему координат, метрический тензор изменится и будет иметь вид (самый общий, который я смог придумать с ускорением и нормалью к скорости движения системы координат).
$g_{ik}=h_{ik}+ \lambda_{ikpq}n_p a_q/c^2$
где имеем тензор пространства Галилея $h_{ik}$, нормаль относительно направления движения $n_p$, ускорение системы координат $a_q$. Причем реализуется ускорение вида $ a_q=0(1/|n_i|^{1+\varepsilon}), \varepsilon>0$
Для получения силы Даламбера отличный от нуля символ Кристоффеля, должен равняться $\Gamma^i_{00}$, где i направление движения тела. При этом должен быть отличен от нуля тензор $g_{00}$, причем символ Кристоффеля равен
$\Gamma^i_{00}=\frac{1}{2}g^{im}(2\frac{\partial g_{0m}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{00}}{\partial x^m})$
Так как нельзя использовать в качестве главного члена символа Кристоффеля квадрат ускорения, значит, главная часть метрического тензора равна (1,-1,-1,-1), и поэтому добиться производной по нормали к скорости движения невозможно, можно получить производную по направлению движения.
Получается, что определить диагональный вдоль движения метрический тензор, чтобы он переходил в силу Даламбера в уравнении движения, невозможно. Получается, что в результате метрический тензор должен соответствовать системе координат Галилея.
Чтобы символ Кристоффеля образовывал силу Даламбера, он должен иметь вид $\Gamma^i_{00}$ в уравнении.
$\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^k u^l=0$