Хорошие числа.

[Руст]

Вы находили все такие числа?. Если так, то количество хороших между $\sqrt N$ и $N$ при $N=10^{312}$ сильно сократилось. Соответственно вряд ли их бесконечно.

[hippie]

Руст в сообщении #530568 писал(а):

Вы находили все такие числа?. Если так, то количество хороших между $\sqrt N$ и $N$ при $N=10^{312}$ сильно сократилось. Соответственно вряд ли их бесконечно.

Нет, не все.
Искал именно очень большие хорошие числа.
Учитывая величину найденных чисел, думаю, что вряд ли это множество ограничено.

[Руст]

Однако, эвристические соображения показывают, что их должно быть конечно.
Пусть в интервале от $2^k$ до $2^{k+1}$ имеется $N(k)$ хороших чисел. Тогда в интервале $(2^{2k},2^{2k+1})$ имеется примерно $N(2k)\approx \frac{(\ln 2 -1/2)N(k)^2}{(k+\frac 14)\ln 2}$ хороших. Коэффициент $\ln 2-\frac 12=\int_1^{\sqrt 2}(\frac 2x -x)dx$, учитывает какая часть произведений не выше $2^{2k+1}$, внизу $\ln x/2$ (2 за счет нечетности полученных выражений) для среднего числа между $(2^{2k},2^{2k+1})$. Соответственно для средней плотности $r(k)=\frac{N(k)}{2^k}$ получаем:
$r(2k)\approx \frac{a}{k}r^2(k), a=1-\frac{1}{2\ln 2}$.
Отсюда получается

$$r(2^k)\approx\frac{a}{2^{k-1}}r^2(2^{k-1}) \approx \frac{a^3}{2^{k-1+2(k-2)}}r^4(2^{k-2})...\approx \frac{Ca^{2^k}}{2^{2^{k+1}}}$$

или $r(k)\approx \frac{Ca^k}{2^{2k}}$ или $N(k)\approx C(\frac a 2)^k \to 0$.
Точнее для малых не надо доводить до $k=1$ и соответственно $r(k)=\frac{Ca^k}{2^{\theta k}}$ и $\theta$ зависит от начального поведения. Соответственно для некоторых начальных значений $\pi_*(x)=O(x^{\alpha})$.

[Sirion]

Руст, если не сложно, можете объяснить на пальцах, откуда берётся самая первая оценка? Я перечитал раз пять, но так и не смог уловить ход рассуждений.

[Руст]

С константой я немного напутал. Считаем произведения $yz+2=x$ которые попадают в нужный интервал.
Но суть получается $\pi_*(x)=C x^{\alpha}$ с точностью до логарифмического множителя, где $\pi_*(x)$ - количество хороших чисел, не превосходящих х.

Пусть множество хороших чисел $G (good)$. Более точное вычисление:

$$\pi_*(x)=\sum_{y\le z,yz\le x-2,yz+2-prime, y,z\in G}1\approx \pi_*(\sqrt x)+\frac{2}{\ln x}\sum_{1<y<\sqrt x, y\in G}(\pi_*(\frac{x-2}{y})-\pi_*(max(y,\frac{\sqrt x}{y})).$$

Здесь $\frac{2}{\ln x}$ - вероятность простоты числа $yz+2$ (из-за нечетности множитель 2). Можно итерировать несколько раз и выделять главные члены. Вначале, за счет того, что почти все простые хорошие множитель $\frac{2}{x}$ почти восстанавливается для линейного ( с точностью до логарифмических членов) распределения. Далее уже выходит к степенному закону и уравновесится.
В этой связи интересно посчитать числа $N(k)$ и $\ffrac{\llog_2(N(k))}{k}$, для выяснения к какой степени выходит распределение.

[walter]

Если в диапазоне от $\sqrt{N}$ до $N$ хороших чисел $k$, то только из них можно составить $\frac{k^2}{2}$ пар, каждая из которых с верояностью $\frac{1}{\ln N}$ даст хорошее число в диапазоне от $N$ до $N^2$, т.е. около $\frac{k^2}{2\ln N}$, и это лишь малая часть всех хороших чисел из этого диапазона. $\left(\frac{k^2}{2\ln N}\right)/k=\frac{k}{2\ln N}\gg1$.
Так что их должно быть бесконечно много.

[hippie]

walter в сообщении #533106 писал(а):

Если в диапазоне от $\sqrt{N}$ до $N$ хороших чисел $k$, то только из них можно составить $\frac{k^2}{2}$ пар, каждая из которых с верояностью $\frac{1}{\ln N}$ даст хорошее число в диапазоне от $N$ до $N^2$, т.е. около $\frac{k^2}{2\ln N}$, и это лишь малая часть всех хороших чисел из этого диапазона. $\left(\frac{k^2}{2\ln N}\right)/k=\frac{k}{2\ln N}\gg1$.
Так что их должно быть бесконечно много.

При этом все полученные таким образом числа из промежутка $(N;N^2)$ дают остаток 1 при делении на 3. Поэтому ни из одной пары "новых" чисел не получится хорошего числа! (Все $pq+2$ будут кратны 3, и, следовательно, не смогут быть простыми.)

В статистическом эксперименте из 9200 хороших чисел в промежутке $10^{500}<p<10^{1000}$ получилось менее 200 новых хороших чисел.