Аппроксимация неполной гамма функции

[Primavera]

Здравствуйте!
Знает ли кто, существует ли аппроксимация неполной гамма функции $\Gamma[a,y]$, которая будет действительна также для отрицательных значений
$a$ и небольших положительных значений $y$?
Необходимо, чтобы приближающая функция была достаточно простой для использования в дальнейшем, при этом необязательна очень большая точность аппроксимации.
Все, что мне удалось найти:
- аппроксимация по DiDonato (1978)
$\Gamma[a,y]=\frac{4e ^{-y}y ^a}{3(y-a+\frac 1 2)+\sqrt{(y-a+\frac 1 2)^2+4(y+a-\frac 1 2)}}$, которая выполняется только для больших положительных значений y, что, к сожалению, мне не подходит.
- неполную гамма функцию можно представить через гамма функцию("The Incomplete Gamma Functions Since Tricomi" Walter Gautschi):
$\Gamma[a+1,y]=a\Gamma[a,y]+x^ae^{-x}$, подставив вместо гамма функцию ее аппроксимацию, скажем, формулой Стирлинга, можно получить конечную формулу. Проблема в том, что и в этом случае необходимо, чтобы выполнялось $0\leqslant a<1$, что опять-таки мне не подходит.

[PAV]

Efficient approximation of the incomplete gamma function for use in cloud model applications
U. Blahak

http://www.geosci-model-dev-discuss.net ... -print.pdf

не пойдет?

-- Пт янв 20, 2012 21:41:21 --

В википедии (английской) нет ответа?

Incomplete gamma function

-- Пт янв 20, 2012 21:42:27 --

Вообще введите в гугле запрос "gamma function approximation" и шарьте по ссылкам.

[Klad33]

Сейчас все уже встроено в матпакеты. Например:
plot(GAMMA(x), x = -5 .. 0, y = -10 .. 10);


Если особой точности не нужно, то можно и самому нужные интервалы аппроксимировать.

[Taus]

Используйте разложение в ряд Лорана в 0:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Series+Gamma%5B-n%2Cx%5D
При целых аргументах будут возникать ещё $\ln(x)$.

-- Пт янв 20, 2012 22:37:43 --

Во-вторых уже есть на английской википедии http://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function#Asymptotic_behavior

[Primavera]

Большое спасибо всем за ответы!
Для PAV:
U. Blahak, к сожалениию, не подходит, поскольку аппроксимирует нижнюю гамма функцию, и к тому же опять для неотрицательных значений первого параметра и больших значений второго, значит я не смогу даже получить неполную верхнюю функцию через разницу между гамма функцией и нижней гамма функцией...
В английской википедии все формулы в основном для $y$ стремящемся к бесконечности или же для положительных значений $a$. В моем случае $a$ может принимать значения -0,3 или скажем -2,5, а $y$ тоже принимает небольшие значения, как например 0,09 или 5,6...
В Google Scholar удалось найти некоторые статьи по неполной гамма функции, возможно там будет рассмотрен нужный мне случай...
Для Klad33:
мне нужна общая формула для дальнейших вычислений, поэтому графический метод не подходит...В конечном счете все должно свестись к формуле, которую можно будет задать в обычном Excel.
Для Taus:
Формула для 0 дает очень плохое приближение уже при значении $y=0,5$. А мне все же нужна универсальная формула, хотя бы для $y$ который может принимать значения от 0 до 10... Сейчас пробую формулу

$$\Gamma[-n,x]=\frac { \sum\limits_{ k=0} ^{\ oo} \frac { (1+n)_k}{ (1+k)!L_k ^n (-x)L_{1+k} ^n (-x)}} { e^x x^n} $$

вроде здесь нет никаких ограничений для параметров...

[Primavera]

Все получается! Эта формула дает хорошее приближение для $k=5$ или 6. Чем ближе к 0, тем хуже приближение, но для меня такая точность подойдет!
Еще раз спасибо!

[Klad33]

Вот Вам мой подарок. Только что неплохо аппроксимировал Г(х) в пределах икса от 0.1 до 5. Если понравится, то пользуйтесь на здоровье:

$y=x^k\, \bigg [a\cdot exp(b\, x ^c ) \,+\,a_1\cdot exp(b_1 \, x ^{c_1})\bigg ] $

где:

$ k= -0.975285 $

$ a =0.522972 $

$ b =0.422233 $

$ c =1.58304 $

$ a_1=0.622977 $

$ b_1= - 1.11949 $

$ c_1 =0.627149 $

В машинном виде формула выглядит так:

y=(.522972*exp(.422233*x^1.58304)+.622977*exp(-1.11949*x^.627149))/x^.975285

Аппроксимацию делал по 14 точкам. Сумма квадратов отклонений
$6.6 \cdot 10^{-5}$

Такой график получается по этой формуле:

[Klad33]

За ночь удалось еще немного улучшить:

y=(.526590879*exp(.4200670358*x^1.5854253902)+.6168384958*exp(-1.1305001078*x^.6359037352))/x^.9752051669

Сумма квадратичных отклонений 0.0000647929

В экстремальной точке различие небольшое:

[Klad33]

Добавление еще одного параметра увеличило точность на 50%:

y=(1.0091474724*exp(.4109252862*x^1.5920728616)+2.5603413277*exp(-1.6749662083*x^.4311222778))/(x^.9826683347+x^.8281348892)

Сумма квадратичных отклонений 0.0000292

[Primavera]

Мне жутко неловко, ведь Вы потратили время и силы на то, чтобы мне помочь.... Но дело в том, что я ищу аппроксимацию неполной гамма функции, а это не тоже самое, что и гамма! Это, конечно, моя вина, нужно было указать в моем первом ответе, что это не одно и тоже...
Тем не менее, возможно мне подойдет Ваш метод, если его применить для моей функции... Вы использовали программу Matematica?

[Klad33]

Нет, я на любом языке пишу свою прогу по аппроксимации. Простейшая реализация метода Монте-Карло.
Время не потратил, поскольку сам интересуюсь этой проблемой и пишу статьи. Задача мне понравилась каверзностью кривой и позволила глубже понять принцип поиска оптимальной структуры формулы.
Если бы Вы дали мне 10-20 опорных точек нужной зависимости , я бы с удовольствием поразвлекался. Компу ведь все равно, что считать по ночам, пока смотрю сны.

[Klad33]

Если я ничего не путаю, то аппроксимировал границу неполной гамма-функции, то есть Г(x,0). Чтобы аппроксимировать всю неполную г. ф., достаточно подобрать понижающие коэффициенты k и тогда получим двумерную Г(x,k).

[Primavera]

Да, $\Gamma[s,0]=\Gamma[s]$, когда Re(s)>0
Не совсем понимаю про понижающие коэффициенты...
В моем случае для $\Gamma[s,x]$ $s$ может принимать значения от -10 до значений близких к 0 (скажем, 0.001) и $x$ от значений близких к 0 (возьмем 0.001) до 10. При этом значение функции варьируется от значений близких 0 до значений порядка 10E+30.
Вот ее график для $s=-10,-8,-6,-3,-1,-0.05,-0.001$ и $x=0.001..10$

Вот примеры значений $(s,x,\Gamma)$:
1. (-1,781545;1,208655;0,062613)
2. (-9,553194;1,01505;0,029441)
3. (-2,410564;1,746484;0,009922)
4. (-6,14939;6,355018;1,538411E-9)
5. (-1,459086;1,4843;0,037107)
6. (-1,191394;4,032505;0,000568)
7. (-0,005043;5,138971;0,000967)
8. (-4,760217;5,052534;2,77332E-7)
9. (-8,429879;3,8112456;2,22562E-8)
10. (-3,745267;1,449686;0,010632)
11. (-6,724173;2,663594;9,91482E-6)
12. (-9,629359;0,69402;1,61878)
13. (-7,538763;2,84012;2,09442E-6)
14. (-5,945382;0,998426;0,052368)
15. (-1,018882;3,4673086;0,001695)
16. (-2,214346;0,001636;665447)
17. (-4,132821;0,605937;0,885155)
18. (-0,677671;0,30712;1,23532)
19. (-5,88724;6,451121;2,10195E-9)
20. (-2,116027;10;0,002694)

[Klad33]

Все верно я понял! Например, по команде Maple
GAMMA(-.677671, .30712);
получается 1.235324473;

Как и в вашем примере.

Так в каких дапазонах S и X Вы хотели бы видеть приемлемую аппроксимацию? Я с удовольствием проверну работу. Если получится - будет статейка очередная. А, возможно, и вместе с Вами что-то дельное создадим.

Ой, Вы же все это объяснили... Завтра возьмусь за аппроксимацию. Скорее всего это будет Г(S,X)= f(S,X). Вся хитрось будет заключаться в структуре формулы.

[Primavera]

Я, конечно, за!
Продолжаю изучать литературу на эту тему, но ничего подходящего для этого случая пока не нахожу. Сегодня буду штурмовать Yudell "The Special Functions and their Approximations" vol2 1969, там как раз целый раздел по неполной гамма функции, но у меня практически стопроцентная уверенность, что не будет там нужной формулы, иначе она мне уже бы встретилась в других источниках.
Так что, если у Вас получиться, можете смело опубликовывать статью
Хотелось бы погонять функцию в Matematica, но как назло у меня не открывается пакет с инструментами аппроксимации Calculus`....